Uma partícula está sujeita a uma força que lhe confere um potencial , onde e . (A) Determine a força .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que está sujeita a uma força , e essa força está relacionada a um potencial . Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão para a força . Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente a relação entre força e potencial. Vamos precisar saber como derivar funções polinomiais para seguir em frente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante: a força está relacionada ao potencial através da derivada. Mais precisamente, a força é igual ao negativo da derivada do potencial em relação à posição. Isso é representado pela fórmula:
Essa relação vem do fato de que a força é o gradiente negativo do potencial. Então, para encontrar , precisamos apenas derivar em relação a e depois multiplicar por .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Temos:
Vamos derivar termo a termo:
  1. A derivada de é .
  2. A derivada de é .
  3. A derivada de é .
Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora que temos a derivada de , vamos aplicar a relação que mencionamos no Passo 2 para encontrar a força :
Distribuindo o sinal negativo:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores fornecidos para , e :
Substituindo na expressão da força:
Calculando os coeficientes:

Resposta

A força que atua sobre a partícula é:

Exercícios relacionados

Um bloco de massa igual a , movendo-se inicialmente à velocidade é freado por uma mola cuja constante elástica vale . Calcule (A) a comprenssão máxima da mola;
(A) Calcule o trabalho realizado pela força, descrita pela função , sobre uma partícula enquanto esta se desloca entre os pontos , e .
O bloco A é empurrado através de uma superfície horizontal com velocidade constante por uma mão que exerce força . A superfície tem atrito. Repita a parte a e a parte b para o caso em que o bloco esteja acelerando.
Identifique e nomeie todas as forças que atuam no objeto em cada situação descrita abaixo: Um tijolo cai do telhado de um prédio de três andares.