Uma partícula está sujeita a uma força
que lhe confere um potencial
, onde
e
. (A) Determine a força
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que está sujeita a uma força
, e essa força está relacionada a um potencial
. Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão para a força
. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente a relação entre força e potencial. Vamos precisar saber como derivar funções polinomiais para seguir em frente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante: a força está relacionada ao potencial através da derivada. Mais precisamente, a força é igual ao negativo da derivada do potencial em relação à posição. Isso é representado pela fórmula:
Essa relação vem do fato de que a força é o gradiente negativo do potencial. Então, para encontrar
, precisamos apenas derivar
em relação a
e depois multiplicar por
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Temos:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a derivada de
é:
Passo 4
Agora que temos a derivada de
, vamos aplicar a relação que mencionamos no Passo 2 para encontrar a força
:
Distribuindo o sinal negativo:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores fornecidos para
,
e
:
Substituindo na expressão da força:
Calculando os coeficientes:
Resposta
A força que atua sobre a partícula é: