Uma partícula está sujeita a uma força F(x) que lhe confere um potencial U(x)=a x^4-b x^3+c x^2, onde a=24 J / m^4, b=32 J / m^3 e c=9 J / m^2. (A) Determine a força F(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que está sujeita a uma força F(x), e essa força está relacionada a um potencial U(x) = a x^4 - b x^3 + c x^2. Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão para a força F(x). Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente a relação entre força e potencial. Vamos precisar saber como derivar funções polinomiais para seguir em frente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante: a força está relacionada ao potencial através da derivada. Mais precisamente, a força é igual ao negativo da derivada do potencial em relação à posição. Isso é representado pela fórmula:
F(x) = -dU(x)dx
Essa relação vem do fato de que a força é o gradiente negativo do potencial. Então, para encontrar F(x), precisamos apenas derivar U(x) em relação a x e depois multiplicar por -1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de U(x) em relação a x. Temos:
U(x) = a x^4 - b x^3 + c x^2
Vamos derivar termo a termo:
  1. A derivada de a x^4 é 4a x^3.
  2. A derivada de -b x^3 é -3b x^2.
  3. A derivada de c x^2 é 2c x.
Então, a derivada de U(x) é:
dU(x)dx = 4a x^3 - 3b x^2 + 2c x

Passo 4

Agora que temos a derivada de U(x), vamos aplicar a relação que mencionamos no Passo 2 para encontrar a força F(x):
F(x) = -dU(x)dx = -(4a x^3 - 3b x^2 + 2c x)
Distribuindo o sinal negativo:
F(x) = -4a x^3 + 3b x^2 - 2c x

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores fornecidos para a, b e c:
  • a = 24 , J/m^4
  • b = 32 , J/m^3
  • c = 9 , J/m^2
Substituindo na expressão da força:
F(x) = -4 times 24 , x^3 + 3 times 32 , x^2 - 2 times 9 , x
Calculando os coeficientes:
F(x) = -96 , x^3 + 96 , x^2 - 18 , x

Resposta

A força que atua sobre a partícula é:
F(x) = -96,x^3 + 96,x^2 - 18,x

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