Uma partícula está sujeita a uma força
F(x)=-k x+ax^3
a.) Determine V(x) e calcule x(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está sujeita a uma força F(x) = -k x + ax^3. Nosso objetivo aqui é determinar a função potencial V(x) associada a essa força e, depois, encontrar a posição da partícula em função do tempo, x(t). Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especialmente as relações entre força e potencial, além de resolver uma equação diferencial para obter x(t).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o potencial V(x). Sabemos que a força está relacionada ao potencial por F(x) = -dVdx. Então, para encontrar V(x), vamos integrar a força em relação a x:
V(x) = -integral F(x) , dx = -integral ( -k x + ax^3 ) dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integra de -(-k x):
integral k x , dx = k2 x^2
  1. Integra de -(ax^3):
integral -ax^3 , dx = a2 x^-2 = a2 x^2
Então, juntando tudo:
V(x) = k2 x^2 + a2 x^2 + C
Onde C é a constante de integração. Podemos considerar C = 0 para simplificação.
Portanto,
V(x) = k2 x^2 + a2 x^2

Passo 3

Agora que temos o potencial V(x), vamos encontrar a equação do movimento para a partícula. Pela segunda lei de Newton, F(x) = m d^2xdt^2, onde m é a massa da partícula.
Dado que F(x) = -k x + ax^3, temos:
m d^2xdt^2 = -k x + ax^3
Para simplificar, vamos assumir que a massa m = 1 kg. Assim, a equação fica:
d^2xdt^2 = -k x + ax^3

Passo 4

Essa é uma equação diferencial não linear devido ao termo ax^3. Resolver essa equação exatamente pode ser complicado, mas podemos usar métodos de conservação de energia para avançar.
A energia total E do sistema é a soma da energia cinética T e da energia potencial V(x):
E = T + V(x) = 12 ( dxdt )^2 + k2 x^2 + a2 x^2
Como não há forças dissipativas, a energia total E é conservada.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação da energia para encontrar uma expressão para dxdt:
12 ( dxdt )^2 = E - k2 x^2 - a2 x^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
( dxdt )^2 = 2E - k x^2 - ax^2
Tomando a raiz quadrada:
dxdt = raiz2E - k x^2 - ax^2

Passo 6

Agora, para encontrar x(t), precisamos resolver a equação diferencial:
dxdt = raiz2E - k x^2 - ax^2
Essa equação pode ser separada e integrada para encontrar t em função de x:
dt = dxraiz2E - k x^2 - ax^2
Integrando ambos os lados:
t = integral dxraiz2E - k x^2 - ax^2 + C
Onde C é a constante de integração. A integral resultante pode ser complicada e, em geral, não possui uma solução em termos de funções elementares. Portanto, x(t) seria expressa em termos de funções elípticas ou outras funções especiais.

Resposta

A função potencial é dada por
V(x) = k2 x^2 + a2 x^2
A posição da partícula em função do tempo, x(t), é determinada pela solução da equação diferencial
dxdt = raiz2E - k x^2 - ax^2
que, em geral, envolve funções mais complexas e pode ser expressa em termos de funções elípticas.

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