Uma partícula está sujeita a uma força
a.) Determine
e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está sujeita a uma força
. Nosso objetivo aqui é determinar a função potencial
associada a essa força e, depois, encontrar a posição da partícula em função do tempo,
. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especialmente as relações entre força e potencial, além de resolver uma equação diferencial para obter
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o potencial
. Sabemos que a força está relacionada ao potencial por
. Então, para encontrar
, vamos integrar a força em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
- Integra de
:
- Integra de
:
Então, juntando tudo:
Onde
é a constante de integração. Podemos considerar
para simplificação.
Portanto,
Passo 3
Agora que temos o potencial
, vamos encontrar a equação do movimento para a partícula. Pela segunda lei de Newton,
, onde
é a massa da partícula.
Dado que
, temos:
Para simplificar, vamos assumir que a massa
kg. Assim, a equação fica:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial não linear devido ao termo
. Resolver essa equação exatamente pode ser complicado, mas podemos usar métodos de conservação de energia para avançar.
A energia total
do sistema é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
Como não há forças dissipativas, a energia total
é conservada.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação da energia para encontrar uma expressão para
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 6
Agora, para encontrar
, precisamos resolver a equação diferencial:
Essa equação pode ser separada e integrada para encontrar
em função de
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. A integral resultante pode ser complicada e, em geral, não possui uma solução em termos de funções elementares. Portanto,
seria expressa em termos de funções elípticas ou outras funções especiais.
Resposta
A função potencial é dada por
A posição da partícula em função do tempo,
, é determinada pela solução da equação diferencial
que, em geral, envolve funções mais complexas e pode ser expressa em termos de funções elípticas.
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, significando que tem
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© )
©
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e 2 m . A expressão fisicamente correta da soma dos comprimentos dos fios é:
(b) ( )
(b) ( )
O número de algarismo significativos da medida
é
(a) ( ) 15
(a) ( ) 15
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(b) ( ) três
(b) ( ) três