Uma partícula está sujeita a uma força
a.) Determine e calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está sujeita a uma força . Nosso objetivo aqui é determinar a função potencial associada a essa força e, depois, encontrar a posição da partícula em função do tempo, . Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especialmente as relações entre força e potencial, além de resolver uma equação diferencial para obter .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o potencial . Sabemos que a força está relacionada ao potencial por . Então, para encontrar , vamos integrar a força em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integra de :
  1. Integra de :
Então, juntando tudo:
Onde é a constante de integração. Podemos considerar para simplificação.
Portanto,

Passo 3

Agora que temos o potencial , vamos encontrar a equação do movimento para a partícula. Pela segunda lei de Newton, , onde é a massa da partícula.
Dado que , temos:
Para simplificar, vamos assumir que a massa kg. Assim, a equação fica:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial não linear devido ao termo . Resolver essa equação exatamente pode ser complicado, mas podemos usar métodos de conservação de energia para avançar.
A energia total do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial :
Como não há forças dissipativas, a energia total é conservada.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação da energia para encontrar uma expressão para :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tomando a raiz quadrada:

Passo 6

Agora, para encontrar , precisamos resolver a equação diferencial:
Essa equação pode ser separada e integrada para encontrar em função de :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. A integral resultante pode ser complicada e, em geral, não possui uma solução em termos de funções elementares. Portanto, seria expressa em termos de funções elípticas ou outras funções especiais.

Resposta

A função potencial é dada por
A posição da partícula em função do tempo, , é determinada pela solução da equação diferencial
que, em geral, envolve funções mais complexas e pode ser expressa em termos de funções elípticas.

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© )
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(b) ( )
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