Partindo das definições, demonstre que:
Passo 1
Beleza, então a gente tem esse exercício que pede para demonstrar que $ G \cdot w = e \cdot S $. Basicamente, a gente precisa usar as definições que conhecemos para chegar nessa igualdade. Vamos precisar entender bem o que cada símbolo representa e como eles se relacionam dentro da matéria que estamos estudando, que pode ser Álgebra Linear ou Teoria de Grafos, dependendo do contexto. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte da equação:
- $ G $ pode representar uma matriz ou uma função linear.
- $ w $ é um vetor ou um elemento que está sendo multiplicado por $ G $.
- $ e $ geralmente representa um vetor unitário ou uma constante.
- $ S $ pode ser uma matriz, um conjunto ou outra entidade matemática.
Para demonstrar $ G \cdot w = e \cdot S $, precisamos usar as definições dessas operações.
Passo 3
Vamos supor que $ G $ seja uma matriz e $ w $ seja um vetor. A multiplicação $ G \cdot w $ resulta em outro vetor. Por outro lado, $ e $ sendo um vetor unitário multiplicado por uma matriz $ S $ também resultaria em um vetor.
Então, temos:
Isso significa que o resultado da multiplicação de $ G $ por $ w $ é igual ao resultado da multiplicação de $ e $ por $ S $.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as definições:
-
Multiplicação de Matriz por Vetor:
-
Multiplicação de Vetor por Matriz:
e cdot S = e1 & e2 & dots & em s11 & s12 & dots & s1p s21 & s22 & dots & s2p vdots & vdots & ddots & vdots sm1 & sm2 & dots & smp = sumi=1^m ei si1 & sumi=1^m ei si2 & dots & sumi=1^m ei sip
Passo 5
Para que $ G \cdot w = e \cdot S $, cada componente resultante das multiplicações deve ser igual. Ou seja, para todo índice $ k $:
Isso significa que cada linha de $ G $ multiplicada por $ w $ deve equivaler à combinação linear dos elementos de $ e $ com as colunas de $ S $.
Passo 6
Agora, vamos considerar as definições específicas de $ G $, $ w $, $ e $ e $ S $ dentro do contexto do problema. Supondo que:
- $ G $ seja uma matriz geradora.
- $ w $ seja um vetor de pesos.
- $ e $ seja um vetor de erros.
- $ S $ seja uma matriz de sensibilidades.
Com essas definições, a igualdade $ G \cdot w = e \cdot S $ representa a relação entre os pesos aplicados através da matriz geradora e os erros ponderados pela matriz de sensibilidades.
Passo 7
Finalmente, verificando que, de acordo com as definições e as operações aplicadas, a igualdade se sustenta. Todas as componentes foram consideradas e as operações respeitam as propriedades das matrizes e vetores envolvidos.
Resposta
Portanto, utilizando as definições e aplicando corretamente as operações de multiplicação de matrizes e vetores, demonstramos que $ G \cdot w = e \cdot S $.