A partir da equação dU = TdS - pdV, obter a relação de Maxwell correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para, a partir da equação diferencial da energia interna $ dU = TdS - pdV $, obter uma relação de Maxwell. Estamos lidando com Termodinâmica, especificamente com as relações de Maxwell que ajudam a conectar diferentes propriedades termodinâmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas parciais e como aplicar essas relações para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia interna $ U $ é uma função das variáveis entropia $ S $ e volume $ V $, ou seja, $ U = U(S, V) $. A equação diferencial dada é:
Isso significa que as derivadas parciais de $ U $ em relação a $ S $ e $ V $ são:
Passo 3
Agora, para obter a relação de Maxwell, vamos usar o fato de que as derivadas mistas de uma função contínua de várias variáveis são iguais. Ou seja:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Simplificando isso:
Passo 4
Essa igualdade que obtivemos é uma das relações de Maxwell. Ela relaciona a variação da temperatura em função do volume a entropia constante com a variação da pressão em função da entropia a volume constante. Essas relações são super úteis para derivar propriedades termodinâmicas que podem não ser facilmente mensuráveis experimentalmente.
Resposta
A relação de Maxwell obtida a partir da equação $ dU = TdS - pdV $ é: