Um tanque rígido contém 2 kg de metano a 450 K e 1000 kPa . Se ele for resfriado até 300 K , qual será o calor transferido e sua variação de entropia admitindo comportamento de gás ideal?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque rígido que tem 2 kg de metano (CH₄) a 450 K e 1000 kPa. Esse gás é resfriado até 300 K. A gente precisa descobrir duas coisas: quanto de calor foi transferido durante esse processo e qual foi a variação da entropia do sistema, assumindo que o metano se comporta como um gás ideal. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente propriedades de gases ideais, calor transferido em processos a volume constante e a variação de entropia.

Passo 2

Primeiro, como o tanque é rígido, o volume não muda durante o processo. Isso significa que o processo é iso-volumétrico (a volume constante). Sabemos que para gases ideais, a relação entre pressão, volume e temperatura é dada pela equação de estado dos gases ideais:
PV = nRT
Mas como o volume é constante, podemos relacionar as temperaturas e pressões iniciais e finais.

Passo 3

Vamos calcular o volume do tanque. Para isso, precisamos saber quantas mols de metano temos. A massa do metano é 2 kg, que é igual a 2000 g. A massa molar do metano (CH₄) é aproximadamente 16 g/mol. Então, o número de mols (n) é:
n = 2000 g16 g/mol = 125 mol

Passo 4

Agora, usando a equação dos gases ideais para as condições iniciais, podemos encontrar o volume (V):
P1 V = n R T1
Rearranjando para V:
V = n R T1P1
Substituindo os valores (Lembre-se de converter a pressão para Pa e usar R = 8,314 J/mol·K):
P1 = 1000 kPa = 1 times 10^6 Pa
V = 125 times 8,314 times 4501 times 10^6 approx 0,468 m^3

Passo 5

Agora que temos o volume, vamos calcular o calor transferido. Em um processo a volume constante, o calor transferido (Q) é igual à variação da energia interna (∆U). Para um gás ideal, a variação da energia interna depende apenas da variação de temperatura:
De
Onde $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante. Para o metano, $ C_v $ aproximadamente é 35,69 J/mol·K.

Passo 6

Calculando a variação de temperatura:
De
Agora, calculando ∆U:
De
Então, o calor transferido Q é -669,8 kJ (o sinal negativo indica que o calor saiu do sistema).

Passo 7

Agora, vamos calcular a variação de entropia (∆S). Para um processo a volume constante, a variação de entropia é dada por:
De
Vamos usar os valores que já temos.

Passo 8

Substituindo os valores:
De
Primeiro, calculamos o logaritmo natural:
ln(300450) = ln(23) approx -0,4055
Agora, multiplicando tudo:
De

Resposta

O calor transferido durante o resfriamento é de aproximadamente −669,8 kJ e a variação de entropia do sistema é de −1810,4 J/K.

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