Paulo faz aplicações mensais em uma carteira de investimento. O valor inicial aplicado por ele é R$ 200,00 e, com o intuito de sempre aumentar sua participação nessa carteira de investimento, nos meses seguintes ele fará aplicações sucessivas de forma que uma aplicação seja sempre R$ 15,00 reais maior que a aplicação imediatamente anterior. Uma fórmula para o termo geral an dessa sequência de aplicações em função de n é:
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre as aplicações mensais que o Paulo faz em uma carteira de investimento. Ele começa investindo R$ 200,00 e, todo mês depois, aumenta o valor aplicado em R$ 15,00 em relação ao mês anterior. Nosso objetivo aqui é encontrar uma fórmula que nos diga quanto ele vai investir no mês n. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de progressão aritmética, que é uma sequência onde cada termo aumenta ou diminui por um valor fixo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma progressão aritmética. Ela é uma sequência de números em que a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Essa diferença é chamada de razão (d) da progressão. No caso do Paulo, a razão é R$ 15,00, porque ele aumenta o valor investido em R$ 15,00 a cada mês.
Passo 3
Agora, vamos identificar os elementos da progressão aritmética no nosso problema:
- Primeiro termo (a₁): Esse é o valor que Paulo investe no primeiro mês, que é R$ 200,00.
- Razão (d): Como mencionamos, é o aumento fixo a cada mês, que é R$ 15,00.
Passo 4
A fórmula para encontrar o n-ésimo termo (aₙ) de uma progressão aritmética é:
Onde:
- $ a_n $ é o valor que queremos encontrar no mês n.
- $ a_1 $ é o primeiro termo.
- $ d $ é a razão.
- $ n $ é o número do mês.
Passo 5
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
- $ a_1 = 200 $
- $ d = 15 $
Então:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão:
Resposta
A fórmula para o termo geral $ a_n $ dessa sequência de aplicações em função de $ n $ é: