Em um torneio de tênis, cada jogador foi escalado para jogar contra cada um dos outros jogadores uma única vez. Entretanto, durante o evento, três jogadores desistiram do torneio. Sabemos que cada um dos desistentes jogou duas partidas. Se o torneio teve exatamente 50 jogos, quantos jogadores começaram torneio?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14​

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um torneio de tênis onde cada jogador joga contra todos os outros uma vez. Mas, três jogadores desistiram depois de jogar duas partidas cada. No total, aconteceram 50 jogos. Nosso objetivo é descobrir quantos jogadores começaram o torneio. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória, que é a parte da matemática que lida com a contagem de diferentes maneiras de combinar elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em quantos jogos aconteciam originalmente se ninguém desistisse. Se temos $ n $ jogadores, cada um joga contra $ n - 1 $ outros. Mas, como cada partida envolve dois jogadores, o total de jogos seria $ \frac{n(n - 1)}{2} $. Isso porque contamos cada jogo uma vez só.

Passo 3

Agora, três jogadores desistiram. Cada um desses desistentes jogou duas partidas antes de sair. Então, no total, eles jogaram $ 3 \times 2 = 6 $ partidas que não aconteceriam se eles só tivessem participado desde o início. Portanto, devemos subtrair essas 6 partidas do total original de jogos.

Passo 4

Sabemos que o total de jogos que realmente aconteceram foi 50. Então, podemos escrever a seguinte equação:
n(n - 1)2 - 6 = 50

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar $ n $. Primeiro, somamos 6 em ambos os lados:
n
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
n(n - 1)2 = 56

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática:
n^2 - n - 112 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
n = 1 pm raiz1 + 4482 = 1 pm raiz4492
Como $ n $ precisa ser um número inteiro positivo, vamos encontrar um valor aproximado. Sabemos que $ 21^2 = 441 $ e $ 22^2 = 484 $, então $ \sqrt{449} $ está entre 21 e 22. Porém, como estamos procurando um número inteiro que satisfaça a equação, vamos testar os valores das opções.

Passo 7

Vamos testar as opções:
  • A) 10: 10 times 92 - 6 = 45 - 6 = 39 neq 50
  • B) 11: 11 times 102 - 6 = 55 - 6 = 49 neq 50
  • C) 12: 12 times 112 - 6 = 66 - 6 = 60 neq 50
  • D) 13: 13 times 122 - 6 = 78 - 6 = 72 neq 50
  • E) 14: 14 times 132 - 6 = 91 - 6 = 85 neq 50
Parece que nenhuma das opções está batendo exatamente, então vamos reavaliar nossa abordagem.

Passo 8

Vamos reconsiderar o total das partidas. Talvez tenhamos subestimado algo. Sabemos que três jogadores cada um jogou duas partidas, totalizando 6 partidas. Mas essas partidas também envolvem outros jogadores que continuaram no torneio. Portanto, precisamos ajustar nossa equação considerando que as partidas dos desistentes já fazem parte do total de 50 jogos.
Então, o total de jogos sem as desistências seria:
n(n - 1)2
Mas já temos 50 jogos que incluem as 6 partidas dos desistentes. Então:
n(n - 1)2 - partidas perdidas = 50
As partidas perdidas são as que teriam acontecido caso os desistentes continuassem, mas como eles saíram após duas partidas cada, ainda precisamos considerar essas 6 partidas no total.
Portanto, podemos ajustar a equação para:
n(n - 1)2 - 6 = 50
Resolvendo novamente:
n(n - 1)2 = 56 implies n(n - 1) = 112
Vamos encontrar dois números consecutivos cuja multiplicação seja 112. Testando:
  • $ 10 \times 11 = 110 $ (próximo)
  • $ 14 \times 13 = 182 $ (muito maior)
Parece que houve um equívoco. Vamos reavaliar o problema.

Passo 9

Na verdade, se três jogadores desistiram depois de jogar duas partidas cada, isso significa que essas partidas ainda contaram para o total de 50 jogos. Assim, o total sem as desistências seria:
n(n - 1)2 - 3 times n - 12 = 50
Isso porque cada desistente tiraria $ \frac{n - 1}{2} $ jogos do total. Resolvendo essa equação:
n - 12
Multiplicando por 2:
n(n - 1)2 - 3(n - 1)2 = 50 implies (n - 1)(n - 3)2 = 50
Então:
(n - 1)(n - 3) = 100
Resolvendo a equação quadrática:
n^2 - 4n + 3 = 100 implies n^2 - 4n - 97 = 0
Aproximadamente, $ n \approx 12.05 $. Como $ n $ precisa ser inteiro, arredondamos para 12.

Resposta

12

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