Uma peça de uma máquina se move em um eixo conforme a função:
x(t)=t^3-4 t^2-3 t+18
Onde x é a posição em metros, e t é o tempo, em segundos. Determine as funções da velocidade v(t) e da aceleração a(t).
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Sendo a=1 imath-2 jmath+3 k e b=(-4,+5,-6), Determine o produto escalar a b e o produto vetorial a x b.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A primeira parte do exercício fala sobre o movimento de uma peça de máquina, cuja posição em função do tempo é dada por:
x(t) = t^3 - 4 t^2 - 3 t + 18
A gente precisa descobrir duas coisas:
  1. A função da velocidade .
  2. A função da aceleração .
Para isso, vamos usar o conceito de derivadas da matéria de Cálculo. A derivada da posição em relação ao tempo dá a velocidade, e a derivada da velocidade dá a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t) = dx(t)dt = ddt(t^3 - 4 t^2 - 3 t + 18) . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função v(t) = 3t^2 - 8t - 3 :
Aplicando a regra da derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração a(t) = dv(t)dt = ddt(3t^2 - 8t - 3) . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função a(t) = 6t - 8 :
Aplicando a regra da derivada:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte do exercício que envolve vetores. Temos os vetores:
a = 1 imath - 2 jmath + 3 k
e
b = (-4, +5, -6)
Precisamos encontrar:
  1. O produto escalar .
  2. O produto vetorial .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o produto escalar a cdot b = ax cdot bx + ay cdot by + az cdot bz . O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes:
a cdot b = (1)(-4) + (-2)(5) + (3)(-6) = -4 -10 -18 = -32
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b = imath & jmath & k 1 & -2 & 3 -4 & 5 & -6 . O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais e é calculado usando a matriz determinante:
a times b = imath((-2)(-6) - (3)(5)) - jmath((1)(-6) - (3)(-4)) + k((1)(5) - (-2)(-4))
Calculando o determinante:
a times b = imath(12 - 15) - jmath(-6 + 12) + k(5 - 8)
Simplificando:
a times b = imath(-3) - jmath(6) + k(-3)
a times b = -3 imath - 6 jmath - 3 k
Então:

Resposta

As funções solicitadas são:
  • Velocidade: m/s
  • Aceleração: m/s²
Além disso:
  • Produto escalar:
  • Produto vetorial:

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