Uma peça de uma máquina se move em um eixo conforme a função:
Onde x é a posição em metros, e é o tempo, em segundos. Determine as funções da velocidade e da aceleração .
3
Sendo e , Determine o produto escalar e o produto vetorial .

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A primeira parte do exercício fala sobre o movimento de uma peça de máquina, cuja posição em função do tempo é dada por:
A gente precisa descobrir duas coisas:
  1. A função da velocidade .
  2. A função da aceleração .
Para isso, vamos usar o conceito de derivadas da matéria de Cálculo. A derivada da posição em relação ao tempo dá a velocidade, e a derivada da velocidade dá a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função :
Aplicando a regra da derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função :
Aplicando a regra da derivada:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte do exercício que envolve vetores. Temos os vetores:
e
Precisamos encontrar:
  1. O produto escalar .
  2. O produto vetorial .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais e é calculado usando a matriz determinante:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então:

Resposta

As funções solicitadas são:
  • Velocidade: m/s
  • Aceleração: m/s²
Além disso:
  • Produto escalar:
  • Produto vetorial:

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b) 400 segundos para minutos.
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