Uma peça de uma máquina se move em um eixo conforme a função:
Onde x é a posição em metros, e
é o tempo, em segundos. Determine as funções da velocidade
e da aceleração
.
3
Sendo
e
, Determine o produto escalar
e o produto vetorial
.
3
Sendo
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A primeira parte do exercício fala sobre o movimento de uma peça de máquina, cuja posição em função do tempo é dada por:
A gente precisa descobrir duas coisas:
- A função da velocidade
. - A função da aceleração
.
Para isso, vamos usar o conceito de derivadas da matéria de Cálculo. A derivada da posição em relação ao tempo dá a velocidade, e a derivada da velocidade dá a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função
:
Aplicando a regra da derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função
:
Aplicando a regra da derivada:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte do exercício que envolve vetores. Temos os vetores:
e
Precisamos encontrar:
- O produto escalar
. - O produto vetorial
.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais e é calculado usando a matriz determinante:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então:
Resposta
As funções solicitadas são:
- Velocidade:
m/s - Aceleração:
m/s²
Além disso:
- Produto escalar:
- Produto vetorial: