Das peças fornecidas por duas máquinas automáticas 60% e 84%, respectivamente, são de alta qualidade. A produtividade da primeira máquina é o dobro do que a da segunda máquina. Retirada uma peça ao acaso de um lote produzido pelas duas máquinas verificou-se que ela era de alta qualidade. Determinar a probabilidade de que tenha sido produzida pela primeira máquina.
10 pontos 82,58%
60/84 84/120
65,45% 58,82%
10 pontos 82,58%
60/84 84/120
65,45% 58,82%
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas máquinas que produzem peças:
- A primeira máquina (Máquina 1) produz peças com 60% de qualidade.
- A segunda máquina (Máquina 2) produz peças com 84% de qualidade.
Além disso, a produtividade da Máquina 1 é o dobro da da Máquina 2, ou seja, ela produz duas vezes mais peças. Precisamos calcular a probabilidade de que uma peça de alta qualidade tenha sido produzida pela Máquina 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a proporção de produção das máquinas. Se a Máquina 2 produz 1 parte, a Máquina 1 produz 2 partes. Então, no total, temos 3 partes de produção:
- Produção da Máquina 1: 2 partes
- Produção da Máquina 2: 1 parte
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de uma peça ter sido produzida por cada máquina:
- Probabilidade de ser produzida pela Máquina 1: $ P(M_1) = \frac{2}{3} $
- Probabilidade de ser produzida pela Máquina 2: $ P(M_2) = \frac{1}{3} $
Passo 4
Sabemos que:
- Probabilidade de uma peça ser de alta qualidade na Máquina 1: $ P(Q|M_1) = 0,60 $
- Probabilidade de uma peça ser de alta qualidade na Máquina 2: $ P(Q|M_2) = 0,84 $
Passo 5
Queremos encontrar a probabilidade de que, sabendo que a peça é de alta qualidade, ela foi produzida pela Máquina 1. Isso é representado por $ P(M_1|Q) $.
Passo 6
Vamos usar a fórmula de Bayes para isso:
Onde $ P(Q) $ é a probabilidade total de uma peça ser de alta qualidade, que pode ser calculada como:
Passo 7
Vamos calcular $ P(Q) $:
Passo 8
Agora, substituímos os valores na fórmula de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que a peça de alta qualidade tenha sido produzida pela Primeira Máquina é aproximadamente 58,82%.