Das peças fornecidas por duas máquinas automáticas 60% e 84%, respectivamente, são de alta qualidade. A produtividade da primeira máquina é o dobro do que a da segunda máquina. Retirada uma peça ao acaso de um lote produzido pelas duas máquinas verificou-se que ela era de alta qualidade. Determinar a probabilidade de que tenha sido produzida pela primeira máquina.
10 pontos 82,58%
60/84 84/120
65,45% 58,82%

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas máquinas que produzem peças:
  • A primeira máquina (Máquina 1) produz peças com 60% de qualidade.
  • A segunda máquina (Máquina 2) produz peças com 84% de qualidade.
    Além disso, a produtividade da Máquina 1 é o dobro da da Máquina 2, ou seja, ela produz duas vezes mais peças. Precisamos calcular a probabilidade de que uma peça de alta qualidade tenha sido produzida pela Máquina 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a proporção de produção das máquinas. Se a Máquina 2 produz 1 parte, a Máquina 1 produz 2 partes. Então, no total, temos 3 partes de produção:
  • Produção da Máquina 1: 2 partes
  • Produção da Máquina 2: 1 parte

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de uma peça ter sido produzida por cada máquina:
  • Probabilidade de ser produzida pela Máquina 1: $ P(M_1) = \frac{2}{3} $
  • Probabilidade de ser produzida pela Máquina 2: $ P(M_2) = \frac{1}{3} $

Passo 4

Sabemos que:
  • Probabilidade de uma peça ser de alta qualidade na Máquina 1: $ P(Q|M_1) = 0,60 $
  • Probabilidade de uma peça ser de alta qualidade na Máquina 2: $ P(Q|M_2) = 0,84 $

Passo 5

Queremos encontrar a probabilidade de que, sabendo que a peça é de alta qualidade, ela foi produzida pela Máquina 1. Isso é representado por $ P(M_1|Q) $.

Passo 6

Vamos usar a fórmula de Bayes para isso:
P(M1|Q) = P(Q|M1) times P(M1)P(Q)
Onde $ P(Q) $ é a probabilidade total de uma peça ser de alta qualidade, que pode ser calculada como:
P(Q)

Passo 7

Vamos calcular $ P(Q) $:
P(Q)

Passo 8

Agora, substituímos os valores na fórmula de Bayes:
P(M1|Q) = 0,60 times 230,68 = 0,400,68 approx 0,5882

Resposta

A probabilidade de que a peça de alta qualidade tenha sido produzida pela Primeira Máquina é aproximadamente 58,82%.

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