Uma urna contém dez bolas, indistinguíveis ao tato: três bolas com o número 1, cinco bolas com o número 2 e duas bolas com o número 3. Retiram-se simultaneamente três bolas dessa urna, ao acaso. Qual é a probabilidade de que a soma dos números das bolas retiradas seja igual a cinco? Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA:
A) A probabilidade é igual a 9/10.
B) A probabilidade é igual a 7/10.
C) A probabilidade é igual a 3/10.
D) A probabilidade é igual a 1/5.

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade que envolve combinatória. A situação é a seguinte: temos uma urna com 10 bolas onde 3 são marcadas com o número 1, 5 com o número 2 e 2 com o número 3. Queremos saber qual a chance de, ao retirar 3 bolas de uma vez, a soma dos números nelas seja igual a 5.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o número total de maneiras de retirar 3 bolas de 10. Para isso, usamos a fórmula das combinações, que nos diz quantas maneiras diferentes podemos escolher um grupo sem se importar com a ordem. A fórmula é:
binom103 = 10!3!(10-3)! = 120
Então, existem 120 maneiras de retirar 3 bolas da urna.

Passo 3

Agora, vamos identificar quais combinações específicas de bolas resultam em uma soma igual a 5. As possibilidades são:
  1. Duas bolas com número 1 e uma com número 3: 1 + 1 + 3 = 5
  2. Uma bola com número 1 e duas com número 2: 1 + 2 + 2 = 5

Passo 4

Vamos calcular quantas maneiras há para cada uma dessas combinações:
  1. Duas bolas com número 1 e uma com número 3:
    • Escolher 2 de 3 bolas com número 1: binom32 = 3
    • Escolher 1 de 2 bolas com número 3: binom21 = 2
    • Total: 3 times 2 = 6 maneiras
  2. Uma bola com número 1 e duas com número 2:
    • Escolher 1 de 3 bolas com número 1: binom31 = 3
    • Escolher 2 de 5 bolas com número 2: binom52 = 10
    • Total: 3 times 10 = 30 maneiras

Passo 5

Somando as maneiras das duas combinações que resultam na soma 5:
6 + 30 = 36
Então, há 36 maneiras favoráveis para a soma ser igual a 5.

Passo 6

Agora, calculamos a probabilidade dividindo o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras:
Probabilidade = 36120 = 310

Resposta

A probabilidade de que a soma dos números das bolas retiradas seja igual a cinco é igual a 3/10. Portanto, a alternativa correta é a letra C.

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