Uma pedra amarrada em uma corda se move no plano xy. Suas coordenadas são dadas em função do tempo por
X(t)=R cos (omega t) Y(t)=R sen(omega t)
Onde R e omega são constantes. C) Mostre que o vetor aceleração é sempre oposto ao vetor posição e possui módulo igual a omega^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma pedra amarrada numa corda que se move no plano xy, com as coordenadas dadas por:
X(t) = R cos(omega t) Y(t) = R sen(omega t)
O assunto aqui é movimento circular uniforme, que faz parte da cinemática. Vamos precisar calcular a aceleração da pedra e mostrar que ela é sempre oposta à posição da pedra, com módulo igual a omega^2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição da pedra é dada pelas coordenadas (X(t), Y(t)). Para achar a velocidade, a gente deriva essas coordenadas em relação ao tempo.
Derivando X(t):
Derivando Vx(t) = dXdt = -R omega sen(omega t) :
Y(t)
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração derivando a velocidade em relação ao tempo.
Derivando Vx(t):
ax(t) = dVxdt = -R omega^2 cos(omega t)
Derivando Vy(t):
Então, a aceleração é:

Passo 4

Vamos comparar a aceleração a(t) com a posição r(t) = (X(t), Y(t)):
a(t) = -omega^2 r(t)
Isso significa que a aceleração é um vetor que aponta na direção oposta ao da posição.

Resposta

A aceleração da pedra é sempre oposta ao vetor posição e seu módulo é igual a omega^2. Ou seja:
a(t) = -omega^2 r(t)

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