Uma pedra é atirada para cima e sua altura h, em metros, é dada pela função h(t) = at² + 12t, em que t é medido em segundos. Se a pedra atingiu a altura máxima no instante t = 2s, pode-se afirmar que o valor de a é:
a. – 3
b. – 2
c. 2
d. 3
a. – 3
b. – 2
c. 2
d. 3
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre uma pedra que é lançada para cima, e a altura da pedra em função do tempo é dada pela função $ h(t) = at^2 + 12t $. A gente precisa descobrir o valor de $ a $ sabendo que a pedra atingiu a altura máxima aos 2 segundos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de funções quadráticas e como encontrar o ponto máximo delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função $ h(t) = at^2 + 12t $ é uma parábola. Dependendo do valor de $ a $, a parábola pode abrir para cima ou para baixo. Como estamos falando de uma altura máxima, a parábola deve abrir para baixo, ou seja, $ a $ deve ser negativo.
Passo 3
O ponto máximo de uma parábola ocorre no vértice da função. A fórmula para encontrar o tempo $ t $ em que o vértice acontece é $ t = -\frac{b}{2a} $, onde $ b $ é o coeficiente de $ t $ na função. No nosso caso, $ b = 12 $.
Passo 4
Sabemos que o máximo ocorre em $ t = 2 $ segundos. Então, substituímos na fórmula:
Agora, vamos resolver para $ a $.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por $ 2a $ para eliminar a fração:
Agora, dividimos ambos os lados por 4:
Resposta
O valor de $ a $ é –3.