Uma pedra é lançada do topo de um prédio de 40 m de altura, com uma velocidade de módulo 8 m / s e formando um ângulo de 45^circ com a horizontal. Considere g=10 m / s^2.
(b) Calcular o vetor velocidade (módulo e direção) com que a pedra atinge o solo. (3,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma pedra sendo lançada do topo de um prédio de 40 metros de altura. A velocidade inicial dela é de 8 metros por segundo, formando um ângulo de 45 graus com a horizontal. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade com que a pedra vai bater no chão, tanto o valor (módulo) quanto a direção. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento projetado, decomposição de vetores e as equações do movimento uniformemente variado (MUV).

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nos seus componentes horizontal e vertical. Isso ajuda a entender como a pedra se move em cada direção separadamente.
A velocidade inicial v0x = v0 cdot cos(theta) com um ângulo v0y = v0 cdot sin(theta) .
Usamos as fórmulas:

Passo 3

Calculando os componentes:
v0x = 8 cdot cos(45^circ) = 8 cdot raiz22 = 4raiz2 , m/s
v0y = 8 cdot sin(45^circ) = 8 cdot raiz22 = 4raiz2 , m/s
Então, os componentes são e .

Passo 4

Agora, vamos descobrir o tempo que a pedra leva para atingir o solo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical:
y = y0 + v0y t - 12 g t^2
Sabemos que no chão 0 = 40 + 4raiz2 t - 5 t^2 , , , e . Substituindo:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
5 t^2 - 4raiz2 t - 40 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
t = 4raiz2 pm raiz(4raiz2)^2 + 80010
t = 4raiz2 pm raiz32 + 80010 = 4raiz2 pm raiz83210
raiz832 approx 28.84
Como o tempo não pode ser negativo:
t = 4raiz2 + 28.8410 approx 5.66 + 28.8410 = 34.510 = 3.45 , s

Passo 6

Agora que temos o tempo, vamos calcular a velocidade vertical no momento do impacto usando:
vy = v0y - g t = 4raiz2 - 10 cdot 3.45
vy approx 5.66 - 34.5 = -28.84 , m/s
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.

Passo 7

A velocidade horizontal permanece constante, já que não há aceleração na horizontal:
vx = 4raiz2 , m/s approx 5.66 , m/s

Passo 8

Agora, para encontrar o módulo da velocidade resultante no impacto, usamos o teorema de Pitágoras:
v = raizvx^2 + vy^2 = raiz(5.66)^2 + (-28.84)^2
v = raiz32 + 832 = raiz864 approx 29.39 , m/s

Passo 9

Para achar a direção da velocidade, calculamos o ângulo tan(alpha) = |vy|vx = 28.845.66 approx 5.10 em relação à horizontal usando a tangente:
alpha = arctan(5.10) approx 78.5^circ , abaixo da horizontal

Resposta

A pedra atinge o solo com uma velocidade de aproximadamente formando um ângulo de abaixo da horizontal.

Exercícios relacionados