Uma pedra é lançada do topo de um prédio de 40 m de altura, com uma velocidade de módulo
e formando um ângulo de
com a horizontal. Considere
.
(b) Calcular o vetor velocidade (módulo e direção) com que a pedra atinge o solo. (3,0 pontos)
(b) Calcular o vetor velocidade (módulo e direção) com que a pedra atinge o solo. (3,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma pedra sendo lançada do topo de um prédio de 40 metros de altura. A velocidade inicial dela é de 8 metros por segundo, formando um ângulo de 45 graus com a horizontal. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade com que a pedra vai bater no chão, tanto o valor (módulo) quanto a direção. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento projetado, decomposição de vetores e as equações do movimento uniformemente variado (MUV).
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nos seus componentes horizontal e vertical. Isso ajuda a entender como a pedra se move em cada direção separadamente.
A velocidade inicial
com um ângulo
.
Usamos as fórmulas:
Passo 3
Calculando os componentes:
Então, os componentes são
e
.
Passo 4
Agora, vamos descobrir o tempo que a pedra leva para atingir o solo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical:
Sabemos que no chão
,
,
, e
. Substituindo:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Como o tempo não pode ser negativo:
Passo 6
Agora que temos o tempo, vamos calcular a velocidade vertical no momento do impacto usando:
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.
Passo 7
A velocidade horizontal permanece constante, já que não há aceleração na horizontal:
Passo 8
Agora, para encontrar o módulo da velocidade resultante no impacto, usamos o teorema de Pitágoras:
Passo 9
Para achar a direção da velocidade, calculamos o ângulo
em relação à horizontal usando a tangente:
Resposta
A pedra atinge o solo com uma velocidade de aproximadamente
formando um ângulo de
abaixo da horizontal.