Demostre que a base de polarização circular para direita e esquerda é uma base orthonormal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a base de polarização circular para direita e esquerda é uma base ortonormal. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear e Física, especificamente no estudo de vetores e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa ser ortonormal e como as polarizações circulares direita e esquerda se comportam como vetores nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Em Álgebra Linear, uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos unitários (ou seja, têm comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero). Isso facilita muito os cálculos, já que projeções e transformações se tornam mais simples.

Passo 3

Agora, vamos entender as polarizações circulares direita e esquerda. Em física, a polarização circular descreve ondas que giram no sentido horário (direita) ou anti-horário (esquerda) à medida que se propagam. Podemos representar essas polarizações como vetores complexos no plano xy, onde cada vetor corresponde a uma dessas polarizações.

Passo 4

Vamos representar os vetores de polarização circular direita e esquerda. Utilizando números complexos, podemos escrever:
eR = 1raiz2 1 -i , eL = 1raiz2 1 i
Aqui, $ \mathbf{e}_R $ representa a polarização circular direita e $ \mathbf{e}_L $ a esquerda. O fator $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ garante que os vetores sejam de comprimento unitário.

Passo 5

Vamos verificar se esses vetores são unitários. Calculamos o comprimento de cada vetor usando a norma Euclidiana:
|eR| = raiz(1raiz2)^2 + (-iraiz2)^2 = raiz12 + 12 = raiz1 = 1
|eL| = raiz(1raiz2)^2 + (iraiz2)^2 = raiz12 + 12 = raiz1 = 1
Então, ambos os vetores têm comprimento 1, ou seja, são unitários.

Passo 6

Agora, vamos verificar a ortogonalidade entre eles, ou seja, se o produto interno entre $ \mathbf{e}_R $ e $ \mathbf{e}_L $ é zero. O produto interno de vetores complexos é dado por:
eR
Sabemos que $ (-i)(i) = -i^2 = -(-1) = 1 $, então:
eL
No entanto, isso sugere que os vetores não são ortogonais, o que parece contradizer nossa intenção. Vamos verificar novamente nosso cálculo.

Passo 7

Desculpe, houve um erro no cálculo anterior. O produto interno correto para vetores complexos envolve o conjugado do segundo vetor. Então, o produto interno é:
eR cdot eL = (1raiz2)(1raiz2) + (-iraiz2)(iraiz2)^*
Onde o asterisco denota o conjugado complexo. Calculando:
(iraiz2)^* = -iraiz2
Portanto:
eR cdot eL = 12 + (-i)(-i)2 = 12 + -i^22 = 12 + 12 = 1
Ainda assim, o resultado não é zero, indicando que há um equívoco na representação dos vetores ou na interpretação da ortogonalidade no espaço complexo.

Passo 8

Reavaliando, percebemos que para uma base ortonormal em espaços com números complexos, o produto interno deve considerar o conjugado do primeiro vetor. Assim, o produto interno correto é:
lang<= eR, eL rang<= = eR^dag>=r eL = (1raiz2, iraiz2) 1/raiz2 i/raiz2 = 12 + i cdot i2 = 12 - 12 = 0
Agora sim, o produto interno é zero, o que confirma que os vetores são ortogonais.

Resposta

Concluímos que a base formada pelas polarizações circulares direita e esquerda é de fato uma base ortonormal, já que os vetores são unitários e mutuamente ortogonais.

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