Um pêndulo fisico consiste em um anel uniforme, de raio
om, suportado por um pivô localizado na sua borda. (a) Qual é o periodo do novimento harmônico simples executado pelo pêndulo? (b) Se o raio pudesse ser alterado, qual valor faria com que o período fosse o dobro em elação ao resultado anterior?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um pêndulo físico que é basicamente um anel uniforme com raio de
cm, pendurado por um pivô na borda. A matéria aqui envolve movimento harmônico simples e o conceito de pêndulo físico. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o período de oscilação desse tipo de pêndulo e como alterar o raio para modificar esse período.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a): Qual é o período do movimento harmônico simples executado pelo pêndulo?. O período (
) de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto de suspensão. -
é a massa do pêndulo. -
é a aceleração da gravidade. -
é a distância do centro de massa ao ponto de suspensão.
Passo 3
Para um anel uniforme, o momento de inércia em relação ao centro (
) é:
Como o pêndulo está suspenso na borda do anel, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos para encontrar o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão:
Aqui,
, já que o pivô está na borda. Então:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula do período:
Repare que a massa
cancela, então o período depende apenas do raio
e da aceleração da gravidade
.
Passo 5
Vamos calcular numericamente. Primeiro, convertemos o raio para metros:
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b): Se o raio pudesse ser alterado, qual valor faria com que o período fosse o dobro em relação ao resultado anterior?
Sabemos que o período
é proporcional à raiz quadrada do raio
:
Queremos que o novo período seja o dobro:
Passo 7
Para encontrar o novo raio
, relacionamos os períodos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Mas atenção! Vamos reavaliar isso. Na verdade, ajustando a equação corretamente:
Então, o novo raio deve ser quatro vezes o raio original para dobrar o período.
Resposta
(a) O período do pêndulo é aproximadamente 1,1 segundos.
(b) Para que o período seja o dobro, o raio deve ser aumentado para 60 cm.