Um pêndulo fisico consiste em um anel uniforme, de raio om, suportado por um pivô localizado na sua borda. (a) Qual é o periodo do novimento harmônico simples executado pelo pêndulo? (b) Se o raio pudesse ser alterado, qual valor faria com que o período fosse o dobro em elação ao resultado anterior?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um pêndulo físico que é basicamente um anel uniforme com raio de cm, pendurado por um pivô na borda. A matéria aqui envolve movimento harmônico simples e o conceito de pêndulo físico. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o período de oscilação desse tipo de pêndulo e como alterar o raio para modificar esse período.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a): Qual é o período do movimento harmônico simples executado pelo pêndulo?. O período ( ) de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
Onde:
  • é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto de suspensão.
  • é a massa do pêndulo.
  • é a aceleração da gravidade.
  • é a distância do centro de massa ao ponto de suspensão.

Passo 3

Para um anel uniforme, o momento de inércia em relação ao centro ( ) é:
Como o pêndulo está suspenso na borda do anel, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos para encontrar o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão:
Aqui, , já que o pivô está na borda. Então:

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula do período:
Repare que a massa cancela, então o período depende apenas do raio e da aceleração da gravidade .

Passo 5

Vamos calcular numericamente. Primeiro, convertemos o raio para metros:
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): Se o raio pudesse ser alterado, qual valor faria com que o período fosse o dobro em relação ao resultado anterior?
Sabemos que o período é proporcional à raiz quadrada do raio :
Queremos que o novo período seja o dobro:

Passo 7

Para encontrar o novo raio , relacionamos os períodos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Mas atenção! Vamos reavaliar isso. Na verdade, ajustando a equação corretamente:
Então, o novo raio deve ser quatro vezes o raio original para dobrar o período.

Resposta

(a) O período do pêndulo é aproximadamente 1,1 segundos.
(b) Para que o período seja o dobro, o raio deve ser aumentado para 60 cm.

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b.

c.

d.
T
e.