(2,5) Um pêndulo fisico consiste em um anel uniforme, de raio R=15 om, suportado por um pivô localizado na sua borda. (a) Qual é o periodo do novimento harmônico simples executado pelo pêndulo? (b) Se o raio pudesse ser alterado, qual valor faria com que o período fosse o dobro em elação ao resultado anterior?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um pêndulo físico que é basicamente um anel uniforme com raio de R = 15 cm, pendurado por um pivô na borda. A matéria aqui envolve movimento harmônico simples e o conceito de pêndulo físico. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o período de oscilação desse tipo de pêndulo e como alterar o raio para modificar esse período.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a): Qual é o período do movimento harmônico simples executado pelo pêndulo?. O período ( T) de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
T = 2pi raizIm g d
Onde:
  • I é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto de suspensão.
  • m é a massa do pêndulo.
  • g é a aceleração da gravidade.
  • d é a distância do centro de massa ao ponto de suspensão.

Passo 3

Para um anel uniforme, o momento de inércia em relação ao centro ( Icm) é:
Icm = m R^2
Como o pêndulo está suspenso na borda do anel, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos para encontrar o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão:
I = Icm + m d^2
Aqui, d = R, já que o pivô está na borda. Então:
I = m R^2 + m R^2 = 2 m R^2

Passo 4

Agora, substituímos I e d na fórmula do período:
T = 2pi raiz2 m R^2m g R = 2pi raiz2 Rg
Repare que a massa m cancela, então o período depende apenas do raio R e da aceleração da gravidade g.

Passo 5

Vamos calcular numericamente. Primeiro, convertemos o raio para metros:
R = 15 cm = 0,15 m
Agora, substituímos na fórmula:
T = 2pi raiz2 times 0,159,8 approx 2pi raiz0,39,8 approx 2pi raiz0,0306 approx 2pi times 0,175 approx 1,1 s

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): Se o raio pudesse ser alterado, qual valor faria com que o período fosse o dobro em relação ao resultado anterior?
Sabemos que o período T é proporcional à raiz quadrada do raio R:
T propto raizR
Queremos que o novo período seja o dobro:
T' = 2T = 2 times 2pi raiz2 Rg

Passo 7

Para encontrar o novo raio R', relacionamos os períodos:
2 raizR' = raiz2 R
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
4 R' = 2 R R' = 2 R4 = R2
Mas atenção! Vamos reavaliar isso. Na verdade, ajustando a equação corretamente:
2 pi raiz2 R'g = 2 times 2pi raiz2 Rg raizR' = 2 raizR R' = (2)^2 R = 4 R
Então, o novo raio deve ser quatro vezes o raio original para dobrar o período.

Resposta

(a) O período do pêndulo é aproximadamente 1,1 segundos.
(b) Para que o período seja o dobro, o raio deve ser aumentado para 60 cm.

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