Um pêndulo simples de comprimento
executa um MHS. Em
s sua velocidade é de
negativa em uma posição
. (i) Calcule a freqũência natural de oscilação (
); (ii) Calcule a tangente do ângulo de fase inicial (
); (iii) Calcule a amplitude de oscilação A .
(i)
(ii)
(iii)
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pêndulo simples que realiza um Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente vai precisar usar algumas fórmulas de física relacionadas a pêndulos e oscilações. Aqui, temos um pêndulo com comprimento $ L = 1,2 $ metros, e no instante inicial ($ t = 0 $), a velocidade é $ v_{0x} = -1,8 $ m/s na posição $ x_{0} = 0,3 $ metros. Vamos calcular três coisas:
- A frequência natural de oscilação ($ \omega_{0} $)
- A tangente do ângulo de fase inicial ($ \tan \theta_{0} $)
- A amplitude de oscilação ($ A $)
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a frequência natural de oscilação ($ \omega_{0} $). Para um pêndulo simples, a frequência angular natural é dada pela fórmula:
Onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 $ m/s²)
- $ L $ é o comprimento do pêndulo.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular a tangente do ângulo de fase inicial ($ \tan \theta_{0} $). No MHS, a posição e a velocidade podem ser expressas como:
No instante $ t = 0 $, temos:
Dividindo a equação da velocidade pela equação da posição:
Então:
Passo 5
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 6
Por último, vamos determinar a amplitude de oscilação ($ A $). Podemos usar a equação da posição no instante inicial:
Usando a tangente do ângulo de fase que já calculamos, podemos encontrar $ \cos(\theta_{0}) $:
Agora, isolando $ A $:
Resposta
(i) $ \omega_{0} \approx 2,86 \ rad/s $
(ii) $ \tan \theta_{0} \approx 2,10 $
(iii) $ A \approx 0,70 \ metros $