Pensando em minimizar gastos com a embalagem, uma empresa fabricante de bolas de tênis deseja criar uma nova embalagem de formato cilíndrico de forma a acomodar três bolas, sem sobreposição. A imagem a seguir, a vista superior da nova embalagem com as três bolas, ilustra o modelo escolhido. Sabendo que a bola de tênis produzida por essa empresa tem 7 cm de diâmetro, qual a menor medida possível da altura da nova embalagem?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A empresa quer criar uma embalagem cilíndrica para acomodar três bolas de tênis, cada uma com diâmetro de 7 cm, sem que elas se sobreponham. Nosso objetivo é descobrir a menor altura que essa embalagem pode ter para acomodar as três bolas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados a cilindros e esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o diâmetro de uma esfera é a distância que vai de um lado ao outro passando pelo centro. Nesse caso, cada bola de tênis tem 7 cm de diâmetro, então o raio $ r $ de cada bola é metade disso:
Passo 3
Como a embalagem é um cilindro, precisamos saber como as três bolas estão dispostas dentro dele. A melhor maneira de minimizar a altura é empilhar as bolas uma sobre a outra, com cada bola tocando as outras. Quando empilhamos esferas dessa forma, a altura total do cilindro será a soma dos diâmetros das bolas mais a uma pequena sobreposição devido ao empilhamento.
Passo 4
No entanto, para garantir que não haja sobreposição, consideramos que as bolas estão alinhadas verticalmente sem deixar espaço extra. Assim, a altura $ H $ do cilindro será simplesmente a soma dos diâmetros das três bolas:
onde $ D $ é o diâmetro de uma bola.
Passo 5
Substituindo o valor do diâmetro:
Resposta
A menor altura possível da nova embalagem é 21 cm.