Uma pequena esfera condutora, de raio Rl e carga q, está dentro de uma grande casca esférica de raio R2 e carga Q. a) Calcule a diferença de potencial entre a esfera e a casca, VR 1-VR 2. b) Supondo q>0 e ligando a esfera à casca por um fio longo e condutor, explique como ficará a distribuição de cargas na esfera e na casca esférica. R: a) q4 pi varepsilon0(1R1-1R2); b) q fluirá da esfera para a casca.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma esfera condutora pequena com raio e carga , dentro de uma casca esférica maior com raio e carga . A gente vai usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre potenciais elétricos e distribuição de cargas em condutores. Para resolver, a gente vai precisar lembrar como calcular o potencial elétrico de esferas e cascas carregadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potencial elétrico. O potencial elétrico em um ponto é a energia potencial por unidade de carga que uma carga de teste teria nesse ponto. Para uma esfera condutora carregada, o potencial V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr a uma distância do centro é dado por:
Onde:
  • é a carga da esfera,
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a distância do centro da esfera.

Passo 3

No nosso caso, temos duas partes carregadas: a esfera pequena e a casca grande. Vamos calcular o potencial na superfície da esfera ( VR1 = 14pivarepsilon0 cdot qR1 ) e na superfície da casca ( VR2 = 14pivarepsilon0 cdot QR2 ).
Para a esfera pequena na superfície ( ):
Para a casca grande, como ela também é condutora, a carga está distribuída na superfície externa. O potencial na superfície da casca ( ) é:

Passo 4

Agora, queremos a diferença de potencial entre a esfera e a casca, ou seja, VR1 - VR2 = 14pivarepsilon0 cdot qR1 - 14pivarepsilon0 cdot QR2 . Substituindo os valores que calculamos:
VR1 - VR2 = 14pivarepsilon0 ( qR1 - QR2 )
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 5

Então, a diferença de potencial entre a esfera e a casca é:
VR1 - VR2 = q4pivarepsilon0 ( 1R1 - 1R2 )

Passo 6

Agora, sobre a segunda parte da questão. Se e ligarmos a esfera à casca com um fio conductor, as cargas irão se redistribuir. Como ambos são condutores e estão conectados, eles terão o mesmo potencial elétrico.
Inicialmente, a esfera tem carga positiva. Ao conectar com a casca, as cargas vão fluir de quem tem maior potencial para quem tem menor. Nesse caso, parte da carga positiva da esfera vai para a casca, equilibrando os potenciais.
Assim, a carga da esfera diminui e a carga na casca aumenta, até que ambos tenham o mesmo potencial.

Resposta

Após conectar a esfera à casca, a carga positiva flui da esfera para a casca, igualando os potenciais elétricos entre elas.

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