Uma pequena esfera condutora, de raio
e carga
, está dentro de uma grande casca esférica de raio
e carga
. a) Calcule a diferença de potencial entre a esfera e a casca,
. b) Supondo
e ligando a esfera à casca por um fio longo e condutor, explique como ficará a distribuição de cargas na esfera e na casca esférica.
a)
; b) q fluirá da esfera para a casca.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma esfera condutora pequena com raio
e carga
, dentro de uma casca esférica maior com raio
e carga
. A gente vai usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre potenciais elétricos e distribuição de cargas em condutores. Para resolver, a gente vai precisar lembrar como calcular o potencial elétrico de esferas e cascas carregadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é potencial elétrico. O potencial elétrico em um ponto é a energia potencial por unidade de carga que uma carga de teste teria nesse ponto. Para uma esfera condutora carregada, o potencial
a uma distância
do centro é dado por:
Onde:
-
é a carga da esfera, -
é a permissividade do vácuo, -
é a distância do centro da esfera.
Passo 3
No nosso caso, temos duas partes carregadas: a esfera pequena e a casca grande. Vamos calcular o potencial na superfície da esfera (
) e na superfície da casca (
).
Para a esfera pequena na superfície (
):
Para a casca grande, como ela também é condutora, a carga
está distribuída na superfície externa. O potencial na superfície da casca (
) é:
Passo 4
Agora, queremos a diferença de potencial entre a esfera e a casca, ou seja,
. Substituindo os valores que calculamos:
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 5
Então, a diferença de potencial entre a esfera e a casca é:
Passo 6
Agora, sobre a segunda parte da questão. Se
e ligarmos a esfera à casca com um fio conductor, as cargas irão se redistribuir. Como ambos são condutores e estão conectados, eles terão o mesmo potencial elétrico.
Inicialmente, a esfera tem carga
positiva. Ao conectar com a casca, as cargas vão fluir de quem tem maior potencial para quem tem menor. Nesse caso, parte da carga positiva da esfera vai para a casca, equilibrando os potenciais.
Assim, a carga da esfera diminui e a carga na casca aumenta, até que ambos tenham o mesmo potencial.
Resposta
Após conectar a esfera à casca, a carga positiva
flui da esfera para a casca, igualando os potenciais elétricos entre elas.