A Brinquedos S.A. fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por R$ 27,00 e custa R de matéria prima. Cada soldado fabricado aumenta custos diretos de mão de obra e custos indiretos em R$14,00. Um trem é vendido à R$ 21,00 e utiliza R$ 9,00 de matéria prima. Cada trem produzido demanda de 1 hora de pintura, e 1 hora de carpintaria. Para cada semana, a Brinquedos S.A. pode conseguir toda a matéria prima necessária, mas pela disponibilidade de mão de obra na região ela não consegue mais do que 2 carpinteiros, 1 aprendiz de carpintaria, e 2 pintores. Sabendo que a jornada semanal dos carpinteiros e pintores é de 40 horas, e que o aprendiz trabalha na oficina por 4 horas por dia, formule e resolva um modelo de programação linear capaz de calcular qual deveria ser o esquema de produção típico que maximize o lucro (líquido) da Brinquedos S.A., levando em conta que a demanda de trens é ilimitada, mas a de soldados é de, no máximo, 40 unidades por semana, e que a empresa opera apenas nos dias úteis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de programação linear onde a Brinquedos S.A. fabrica dois tipos de brinquedos: soldados e trens. O objetivo é descobrir quantos de cada brinquedo produzir para maximizar o lucro, considerando os custos de produção, preços de venda e as limitações de mão de obra. Vamos precisar montar um modelo matemático que leve tudo isso em conta.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis de decisão. Isso significa identificar o que queremos descobrir.
Seja o número de soldados produzidos por semana.
Seja o número de trens produzidos por semana.
Essas são as quantidades que queremos determinar para maximizar o lucro.
Passo 3
Agora, vamos formular a função objetivo, que é o lucro total da empresa. Para isso, subtraímos os custos totais das receitas totais.
Receita dos soldados: Cada soldado é vendido por R$27,00, então a receita dos soldados é .
Receita dos trens: Cada trem é vendido por R$21,00, então a receita dos trens é .
Total da receita: .
Custo dos soldados: Materia-prima de R$10,00 e custos adicionais de R$14,00 por soldado, totalizando R$24,00 por soldado. Então, custo total dos soldados: .
Custo dos trens: Materia-prima de R$9,00 por trem. Então, custo total dos trens: .
Total dos custos: .
Então, o lucro é:
Queremos maximizar .
Passo 4
Agora, vamos identificar as restrições do problema, que são as limitações que a empresa tem para produzir os brinquedos.
Demanda de soldados: A empresa não pode produzir mais do que 40 soldados por semana.
Mão de obra disponível:
Carpinteiros: Existem 2 carpinteiros, cada um trabalhando 40 horas por semana, totalizando horas.
Aprendiz de carpintaria: Trabalha 4 horas por dia, 5 dias na semana (dias úteis), totalizando horas por semana.
Total de horas de carpintaria disponíveis: horas.
Cada soldado e trem requer 1 hora de carpintaria:
Pintores: Existem 2 pintores, cada um trabalhando 40 horas por semana, totalizando horas.
Cada trem requer 1 hora de pintura:
Não negatividade: Não podemos produzir uma quantidade negativa de brinquedos.
Passo 5
Vamos resumir o nosso modelo de programação linear:
Função Objetivo:
Restrições:
Passo 6
Para resolver esse modelo, podemos utilizar o método gráfico, já que temos apenas duas variáveis. Vamos desenhar as restrições em um gráfico e identificar a região viável.
Desenhando : Uma linha vertical em .
Desenhando : Uma linha diagonal que intercepta os eixos em e .
Desenhando : Uma linha horizontal em .
E excluindo as regiões negativas.
A interseção dessas restrições forma uma região viável onde podemos encontrar o ponto que maximiza o lucro.
Passo 7
Os pontos candidatos para maximizar o lucro são os vértices da região viável. Vamos identificar esses pontos:
(0, 0): Produzir nada.
(0, 80): Produzir apenas trens.
(40, 60): Onde e .
(40, 80): Este ponto verifica que , mas nossa restrição é , então esse ponto não está na região viável.
Portanto, os pontos viáveis são (0,0), (0,80) e (40,60).
Passo 8
Vamos calcular o lucro em cada ponto candidato:
(0, 0):
(0, 80):
(40, 60):
Passo 9
Comparando os lucros:
O maior lucro ocorre no ponto (0,80), onde a empresa produz 0 soldados e 80 trens por semana.
Resposta
A Brinquedos S.A. deve produzir 0 soldados e 80 trens por semana para maximizar o lucro, que será de R$960,00.