A Brinquedos S.A. fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por R$ 27,00 e custa R 27,00 e custa R de matéria prima. Cada soldado fabricado aumenta custos diretos de mão de obra e custos indiretos em R$14,00. Um trem é vendido à R$ 21,00 e utiliza R$ 9,00 de matéria prima. Cada trem produzido demanda de 1 hora de pintura, e 1 hora de carpintaria. Para cada semana, a Brinquedos S.A. pode conseguir toda a matéria prima necessária, mas pela disponibilidade de mão de obra na região ela não consegue mais do que 2 carpinteiros, 1 aprendiz de carpintaria, e 2 pintores. Sabendo que a jornada semanal dos carpinteiros e pintores é de 40 horas, e que o aprendiz trabalha na oficina por 4 horas por dia, formule e resolva um modelo de programação linear capaz de calcular qual deveria ser o esquema de produção típico que maximize o lucro (líquido) da Brinquedos S.A., levando em conta que a demanda de trens é ilimitada, mas a de soldados é de, no máximo, 40 unidades por semana, e que a empresa opera apenas nos dias úteis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de programação linear onde a Brinquedos S.A. fabrica dois tipos de brinquedos: soldados e trens. O objetivo é descobrir quantos de cada brinquedo produzir para maximizar o lucro, considerando os custos de produção, preços de venda e as limitações de mão de obra. Vamos precisar montar um modelo matemático que leve tudo isso em conta.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis de decisão. Isso significa identificar o que queremos descobrir.
  • Seja o número de soldados produzidos por semana.
  • Seja o número de trens produzidos por semana.
Essas são as quantidades que queremos determinar para maximizar o lucro.

Passo 3

Agora, vamos formular a função objetivo, que é o lucro total da empresa. Para isso, subtraímos os custos totais das receitas totais.
  • Receita dos soldados: Cada soldado é vendido por R$27,00, então a receita dos soldados é 27,00, então a receita dos soldados é ( 27x ) - **Receita dos trens**: Cada trem é vendido por R.
  • Receita dos trens: Cada trem é vendido por R$21,00, então a receita dos trens é 10,00 e custos adicionais de R.
Total da receita: 24,00 por soldado Então, custo total dos soldados: ( 24x ) - **Custo dos trens**: Materia-prima de R.
  • Custo dos soldados: Materia-prima de R$10,00 e custos adicionais de R$14,00 por soldado, totalizando R$24,00 por soldado. Então, custo total dos soldados: L = (27x + 21y) - (24x + 9y) = 3x + 12y .
  • Custo dos trens: Materia-prima de R$9,00 por trem. Então, custo total dos trens: .
Total dos custos: .
Então, o lucro é:
Queremos maximizar .

Passo 4

Agora, vamos identificar as restrições do problema, que são as limitações que a empresa tem para produzir os brinquedos.
  1. Demanda de soldados: A empresa não pode produzir mais do que 40 soldados por semana.
x <= 40
  1. Mão de obra disponível:
    • Carpinteiros: Existem 2 carpinteiros, cada um trabalhando 40 horas por semana, totalizando x + y <= 100 horas.
    • Aprendiz de carpintaria: Trabalha 4 horas por dia, 5 dias na semana (dias úteis), totalizando y <= 80 horas por semana.
    • Total de horas de carpintaria disponíveis: x >= 0 y >= 0 horas.
    Cada soldado e trem requer 1 hora de carpintaria:
  1. Pintores: Existem 2 pintores, cada um trabalhando 40 horas por semana, totalizando horas.
Cada trem requer 1 hora de pintura:
  1. Não negatividade: Não podemos produzir uma quantidade negativa de brinquedos.

Passo 5

Vamos resumir o nosso modelo de programação linear:
  • Função Objetivo:
Maximizar L = 3x + 12y
  • Restrições:
x <= 40 x + y <= 100 y <= 80 x >= 0 y >= 0

Passo 6

Para resolver esse modelo, podemos utilizar o método gráfico, já que temos apenas duas variáveis. Vamos desenhar as restrições em um gráfico e identificar a região viável.
  1. Desenhando : Uma linha vertical em .
  2. Desenhando : Uma linha diagonal que intercepta os eixos em e .
  3. Desenhando : Uma linha horizontal em .
  4. E excluindo as regiões negativas.
A interseção dessas restrições forma uma região viável onde podemos encontrar o ponto que maximiza o lucro.

Passo 7

Os pontos candidatos para maximizar o lucro são os vértices da região viável. Vamos identificar esses pontos:
  1. (0, 0): Produzir nada.
  2. (0, 80): Produzir apenas trens.
  3. (40, 60): Onde e .
  4. (40, 80): Este ponto verifica que , mas nossa restrição é , então esse ponto não está na região viável.
Portanto, os pontos viáveis são (0,0), (0,80) e (40,60).

Passo 8

Vamos calcular o lucro L = 3(0) + 12(0) = 0 em cada ponto candidato:
  1. (0, 0):
L = 3(0) + 12(80) = 960
  1. (0, 80):
L = 3(40) + 12(60) = 120 + 720 = 840
  1. (40, 60):

Passo 9

Comparando os lucros:
O maior lucro ocorre no ponto (0,80), onde a empresa produz 0 soldados e 80 trens por semana.

Resposta

A Brinquedos S.A. deve produzir 0 soldados e 80 trens por semana para maximizar o lucro, que será de R$960,00.

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