Um pequeno balão de raio
é inflado de maneira que seu raio oscila senoidalmente entre um valor mínimo
e um valor máximo
com frequência
. Mostre que a intensidade das ondas sonoras na superfície do balão pode ser calculada pela equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um balão que está sendo inflado de maneira que seu raio oscila de um valor mínimo (
) para um máximo (
) de forma senoidal, ou seja, com um movimento ondulatório. A frequência dessa oscilação é
. A gente precisa mostrar como calcular a intensidade das ondas sonoras na superfície do balão usando a equação dada. Para resolver isso, vamos precisar entender de ondas sonoras, intensidade de ondas e como a oscilação do balão afeta isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é intensidade de onda sonora. A intensidade (
) é a quantidade de energia que uma onda transporta por unidade de área por unidade de tempo. Para ondas sonoras, ela depende da amplitude da oscilação e da frequência da onda.
Passo 3
Como o balão está oscilando seu raio senoidalmente, podemos descrever essa oscilação como:
Aqui,
é o raio do balão em um tempo
,
é o raio médio,
é a amplitude da oscilação, e
é a frequência da oscilação.
Passo 4
A velocidade com que o raio do balão está mudando é a derivada de
em relação ao tempo:
Essa velocidade é importante porque está relacionada à velocidade das partículas na onda sonora gerada.
Passo 5
A intensidade da onda sonora pode ser calculada usando a seguinte expressão geral:
Onde:
-
é a densidade do meio (no caso, o ar). -
é a velocidade das partículas na onda. -
é a frequência angular, que é . -
é a amplitude da oscilação.
Passo 6
Substituindo
por
e
pela expressão que encontramos:
Passo 7
Agora, considerando que a intensidade também depende do módulo de incompressibilidade
do ar, que relaciona a pressão e a densidade na onda sonora, ajustamos a equação para incluir essa relação. A expressão final fica:
Resposta
A intensidade das ondas sonoras na superfície do balão é dada por:
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e
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está localizada sobre o eixo
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e
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e
sobre
(Sua resposta deve envolver somente
,
e a coordenada
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da força resultante sobre
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e
.
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