Um pequeno balão de raio é inflado de maneira que seu raio oscila senoidalmente entre um valor mínimo e um valor máximo com frequência . Mostre que a intensidade das ondas sonoras na superfície do balão pode ser calculada pela equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um balão que está sendo inflado de maneira que seu raio oscila de um valor mínimo ( ) para um máximo ( ) de forma senoidal, ou seja, com um movimento ondulatório. A frequência dessa oscilação é . A gente precisa mostrar como calcular a intensidade das ondas sonoras na superfície do balão usando a equação dada. Para resolver isso, vamos precisar entender de ondas sonoras, intensidade de ondas e como a oscilação do balão afeta isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é intensidade de onda sonora. A intensidade ( ) é a quantidade de energia que uma onda transporta por unidade de área por unidade de tempo. Para ondas sonoras, ela depende da amplitude da oscilação e da frequência da onda.

Passo 3

Como o balão está oscilando seu raio senoidalmente, podemos descrever essa oscilação como:
Aqui, é o raio do balão em um tempo , é o raio médio, é a amplitude da oscilação, e é a frequência da oscilação.

Passo 4

A velocidade com que o raio do balão está mudando é a derivada de em relação ao tempo:
Essa velocidade é importante porque está relacionada à velocidade das partículas na onda sonora gerada.

Passo 5

A intensidade da onda sonora pode ser calculada usando a seguinte expressão geral:
Onde:
  • é a densidade do meio (no caso, o ar).
  • é a velocidade das partículas na onda.
  • é a frequência angular, que é .
  • é a amplitude da oscilação.

Passo 6

Substituindo por e pela expressão que encontramos:

Passo 7

Agora, considerando que a intensidade também depende do módulo de incompressibilidade do ar, que relaciona a pressão e a densidade na onda sonora, ajustamos a equação para incluir essa relação. A expressão final fica:

Resposta

A intensidade das ondas sonoras na superfície do balão é dada por:

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