Um pequeno corpo de massa m tem uma carga q e está suspenso por uma linha entre duas placas verticais de um capacitor de placas paralelas. A separação das placas é d. Se a linha faz um ângulo theta com a vertical, qual é a diferença de potencial elétrico entre as placas? Demonstre a expressão para a diferença de potencial elétrico entre as placas (não vale usar a fórmula diretamente).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um corpo pequeno com massa e carga que está suspenso por uma linha entre duas placas verticais de um capacitor com placas paralelas. A distância entre as placas é , e a linha faz um ângulo com a vertical. Nosso objetivo é encontrar a diferença de potencial elétrico entre as placas, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de física:
  • Forças em equilíbrio: Como o corpo está suspenso, as forças que atuam sobre ele estão em equilíbrio.
  • Campo elétrico: O campo elétrico entre as placas de um capacitor.
  • Diferença de potencial: A relação entre o campo elétrico e a diferença de potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no corpo. Existem duas forças principais:
  1. Peso do corpo ( ): Essa força puxa o corpo para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Tensão na linha ( ): A linha que suspende o corpo exerce uma força de tensão que faz um ângulo com a vertical.
Como o corpo está em equilíbrio, as forças na vertical e na horizontal se cancelam. Vamos dividir a tensão em duas componentes:
  • Componente vertical ( ): Equivale a .
  • Componente horizontal ( ): Equivale a .

Passo 3

Agora, aplicando o equilíbrio das forças:
  • Na vertical, a força para cima da tensão deve equilibrar o peso: T cos theta = mg
  • Na horizontal, a força elétrica que atua no corpo deve equilibrar a componente horizontal da tensão: qE = T sin theta Onde é o campo elétrico entre as placas.

Passo 4

Vamos isolar a tensão T = mgcos theta da equação vertical:
qE = ( mgcos theta ) sin theta
Agora, substituímos qE = mg tan theta na equação horizontal:

Passo 5

Despejando o campo elétrico E = mg tan thetaq :
V = E cdot d
Sabemos que a diferença de potencial entre as placas está relacionada ao campo elétrico por:
Onde é a distância entre as placas.

Passo 6

Substituindo V = mg tan thetaq cdot d na equação de V = mgd tan thetaq :

Resposta

A diferença de potencial elétrico entre as placas é dada por:
V = mgd tan thetaq

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