O perfil de velocidades para um escoamento laminar, num tubo circular, é dado por
v=vmax [1-(rR)^2]
Para escoamento turbulento:
v=vmax (R-rR)^1 / n
a) A relação entre a velocidade média e a velocidade na linha central para o escoamento laminar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente tem aqui é sobre o perfil de velocidades em um escoamento laminar dentro de um tubo circular. A pergunta quer saber qual é a relação entre a velocidade média do fluido e a velocidade na linha central (ou seja, a velocidade máxima). Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo e entender como a velocidade varia de um ponto a outro no tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que descreve como a velocidade do fluido varia radialmente (ou seja, da parede até o centro do tubo) no escoamento laminar:
v = vmax [1 - (rR)^2]
Aqui:
  • é a velocidade em um ponto a uma distância do centro do tubo.
  • é a velocidade máxima, que ocorre na linha central ( ).
  • é o raio do tubo.

Passo 3

A velocidade média ( vmédia = 1Área integralÁrea v , dA é) é a média de todas as velocidades no perfil do escoamento. Para calcular isso, precisamos integração a velocidade Área = pi R^2 sobre toda a área da seção transversal do tubo e depois dividir pela área total.
Matematicamente, fica assim:
éÁÁ
Como o tubo é circular, a área ( Á) é:
Á

Passo 4

Vamos colocar a equação da velocidade na integral:
vmédia = 1pi R^2 integral0^2pi integral0^R vmax [1 - (rR)^2] r , dr , dtheta é
Aqui, usamos coordenadas polares para facilitar a integração.
Primeiro, integraremos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :
vmédia = 1pi R^2 times 2pi times vmax integral0^R [1 - (rR)^2] r , dr
Então, a equação fica:
vmédia = 2 vmaxR^2 integral0^R (r - r^3R^2) dr é
Simplificando:
é

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^R (r - r^3R^2) dr = [r^22 - r^44R^2]0^R = (R^22 - R^44R^2) = R^22 - R^24 = R^24
Agora, substituindo de volta na equação da velocidade média:
vmédia = 2 vmaxR^2 times R^24 = 2 vmax4 = vmax2 é

Resposta

A velocidade média no escoamento laminar é metade da velocidade na linha central, ou seja:
vmédia = 12 vmax é

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