Um tanque cilíndrico com diâmetro de contém água. Num instante ( ), uma válvula é aberta totalmente permitindo o escoamento para um reservatório mais abaixo. A água flui a uma taxa dada por:
Q - vazão em cm3/s;
k - constante com valor 1,1 ;
h - altura do líquido no tanque num tempo t , em cm .
Supondo escoamento sem atrito, determinar:
b) Quantos minutos são necessários para escoar a metade do líquido do tanque.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cilíndrico com diâmetro de 0,5 metros que está cheio de água até uma altura de 1 metro (ou 100 cm). Quando abrimos uma válvula, a água começa a sair do tanque a uma taxa que depende da altura da água no momento. Queremos descobrir quanto tempo demora para que metade da água saia, ou seja, para que a altura da água diminua de 100 cm para 50 cm.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de fluxo de fluido e cálculo diferencial para relacionar a taxa de escoamento com a altura da água no tanque ao longo do tempo.
Passo 2
Vamos começar determinando a área da base do tanque cilíndrico. O diâmetro é 0,5 metros, então o raio é metade disso:
A área da base do cilindro é dada por:
Passo 3
A taxa de escoamento é dada pela fórmula:
onde:
é a vazão em cm³/s,
,
é a altura da água em cm.
Como a água está saindo do tanque, a variação do volume no tempo é negativa:
Passo 4
Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
Portanto, a derivada em relação ao tempo é:
Igualando às duas expressões para :
Isolando :
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona a altura da água com o tempo :
Vamos separar as variáveis e :
Passo 6
Integrando ambos os lados, de cm para cm, e de para :
Calculando as integrais:
Passo 7
Calculando os valores numéricos:
raiz50 approx 7,071
2(7,071 - 10) = -1,1625pi cdot T
2(-2,929) = -1,1625pi cdot T
-5,858 = -1,1625pi cdot T
Passo 8
Isolando -5,858 = -1,1625pi cdot T :
5,858 = 1,1625pi cdot T
T = 5,858 cdot 625pi1,1
T approx 5,858 cdot 625 times 3,14161,1
T approx 5,858 cdot 1963,51,1
T approx 5,858 cdot 1785
T approx 10468 segundos
Resposta
São necessários aproximadamente 10468 segundos, o que equivale a cerca de 2 horas e 54 minutos, para escoar metade da água do tanque.