Um tanque cilíndrico com diâmetro de 0,5 m contém água. Num instante t=0 ( h=1 m ), uma válvula é aberta totalmente permitindo o escoamento para um reservatório mais abaixo. A água flui a uma taxa dada por:
Q=k cdot raizh
Q - vazão em cm3/s;
k - constante com valor 1,1 ;
h - altura do líquido no tanque num tempo t , em cm .
Supondo escoamento sem atrito, determinar:
b) Quantos minutos são necessários para escoar a metade do líquido do tanque.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cilíndrico com diâmetro de 0,5 metros que está cheio de água até uma altura de 1 metro (ou 100 cm). Quando abrimos uma válvula, a água começa a sair do tanque a uma taxa que depende da altura da água no momento. Queremos descobrir quanto tempo demora para que metade da água saia, ou seja, para que a altura da água diminua de 100 cm para 50 cm.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de fluxo de fluido e cálculo diferencial para relacionar a taxa de escoamento com a altura da água no tanque ao longo do tempo.

Passo 2

Vamos começar determinando a área da base do tanque cilíndrico. O diâmetro é 0,5 metros, então o raio r = 0,52 = 0,25 m = 25 cm é metade disso:
A = pi r^2 = pi (25)^2 = 625pi cm^2
A área da base do cilindro é dada por:

Passo 3

A taxa de escoamento Q = k cdot raizh é dada pela fórmula:
dVdt = -Q
onde:
  • é a vazão em cm³/s,
  • ,
  • é a altura da água em cm.
Como a água está saindo do tanque, a variação do volume no tempo é negativa:

Passo 4

Sabemos que o volume V = A cdot h de um cilindro é dado por:
dVdt = A cdot dhdt
Portanto, a derivada em relação ao tempo é:
A cdot dhdt = -k cdot raizh
Igualando às duas expressões para dhdt = -kA cdot raizh :
Isolando :

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial que relaciona a altura da água dhdt = -1,1625pi cdot raizh com o tempo dhraizh = -1,1625pi , dt :
Vamos separar as variáveis e :

Passo 6

Integrando ambos os lados, de integral100^50 dhraizh = -1,1625pi integral0^T dt cm para 2raizh |100^50 = -1,1625pi cdot T cm, e de 2(raiz50 - raiz100) = -1,1625pi cdot T para 2(raiz50 - 10) = -1,1625pi cdot T :
Calculando as integrais:

Passo 7

Calculando os valores numéricos:
raiz50 approx 7,071
2(7,071 - 10) = -1,1625pi cdot T
2(-2,929) = -1,1625pi cdot T
-5,858 = -1,1625pi cdot T

Passo 8

Isolando -5,858 = -1,1625pi cdot T :
5,858 = 1,1625pi cdot T
T = 5,858 cdot 625pi1,1
T approx 5,858 cdot 625 times 3,14161,1
T approx 5,858 cdot 1963,51,1
T approx 5,858 cdot 1785
T approx 10468 segundos

Resposta

São necessários aproximadamente 10468 segundos, o que equivale a cerca de 2 horas e 54 minutos, para escoar metade da água do tanque.

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v=vmax [1-(rR)^2]
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