Pergunta: Calcule a temperatura máxima dentro da parede.
Uma parede de 60 mm de espessura, feita de um material com condutividade térmica de 25 W /(m cdot K), gera calor internamente a uma taxa uniforme de 2 times 10^5 W / m^3. Os dois lados da parede estão em contato com fluidos em diferentes temperaturas e com coeficientes de transferência de calor distintos. Para melhorar a dissipação térmica, aletas triangulares com 2 mm de espessura de material com condutividade térmica de 250 W /(m cdot K) foram adicionadas ao lado direito da parede. As dimensões das aletas são conforme especificadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma parede de 60 mm de espessura feita de um material que conduz bem o calor, com condutividade térmica de . Essa parede gera calor internamente a uma taxa de . Os dois lados da parede estão em contato com fluidos que têm diferentes temperaturas e coeficientes de transferência de calor. Para ajudar a dissipar esse calor, foram adicionadas aletas triangulares no lado direito da parede, feitas de um material com condutividade térmica de . Nosso objetivo aqui é calcular qual é a temperatura máxima dentro dessa parede.
Vamos precisar usar conceitos de condução de calor, transferência de calor por convecção e considerar o efeito das aletas na dissipação térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o calor se distribui na parede. Como a parede está gerando calor uniformemente, a temperatura não vai ser constante; ela vai variar de acordo com a posição. Para encontrar a temperatura máxima, geralmente ela ocorre no ponto de maior geração de calor, que, nesse caso, provavelmente é no centro da parede.
A equação que descreve a condução de calor com geração interna é dada por:
d^2 Tdx^2 + q''' k = 0
Onde:
  • é a temperatura
  • é a posição através da espessura da parede
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume
  • é a condutividade térmica do material

Passo 3

Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura. Integrando uma vez:
dTdx = -q''' k x + C1
Integrando novamente:
T(x) = -q''' 2k x^2 + C1 x + C2
Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições de contorno. As condições de contorno envolvem os coeficientes de transferência de calor nos dois lados da parede e a presença das aletas, mas para simplificar, assumiremos condições simétricas se não houver mais informações.

Passo 4

Considerando que a temperatura máxima ocorre no centro da parede ( dTdx|x=0 = 0 ), e que a parede tem espessura total 0 = -q''' k cdot 0 + C1 Rightarrow C1 = 0 , podemos usar a condição de simetria:
T(x) = -q''' 2k x^2 + C2
Aplicando isso na equação derivada:
Então, a equação da temperatura fica:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno nos dois lados da parede. Supondo que os fluidos têm coeficientes de transferência de calor diferentes ( -k dTdx = h ( T - Tinfty ) e ) e temperaturas de ambiente e , temos:
No :
Como , a derivada de é zero no centro, e a temperatura nos limites pode ser usada para encontrar . No entanto, sem valores numéricos para e , não podemos determinar exatamente .
Para simplificar, vamos considerar apenas a condução interna sem as aletas para encontrar a temperatura máxima. A influência das aletas aumentaria a dissipação, reduzindo a temperatura máxima, mas precisaria de mais dados para incluir isso no cálculo.

Passo 6

Sem considerar as aletas, a temperatura máxima no centro da parede seria:
Tmax = C2
Usando a equação geral e sabendo que na superfície a transferência de calor por convecç��o é equilibrada, podemos resolver para . Contudo, sem valores específicos para e , não conseguimos calcular um valor numérico exato.

Resposta

A temperatura máxima dentro da parede ocorre no seu centro e pode ser determinada pela equação . Para obter um valor numérico específico, seriam necessários os coeficientes de transferência de calor e as temperaturas dos fluidos em contato com a parede.

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