PERGUNTA 7 Seja gamma C R squared um arco circular orientado no sentido anti-horário, partindo de (5,0) e chegando em (-4,3). Usando o conceito de integral de linha, qual o resultado da seguinte equação: integral subscript gamma y d x plus x d y a. -8 b. -1 c. -12 d. -17 e. -20
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no plano , que é um arco de círculo, orientado no sentido anti-horário. Ela começa no ponto e termina em . A questão pede para calcular a integral de linha $ \int_{\gamma} y , dx + x , dy $. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma integral de linha e como aplicá-la nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, temos a expressão $ y , dx + x , dy $. Isso significa que, conforme a gente anda ao longo da curva , estamos somando os valores de $ y $ vezes a variação em $ x $ ($ dx $) mais $ x $ vezes a variação em $ y $ ($ dy $).
Passo 3
Agora, uma sacada matemática importante: $ y , dx + x , dy $ é exatamente a derivada total da função $ xy $. Ou seja,
Isso é útil porque, quando a gente integra uma derivada total ao longo de uma curva, o resultado é simplesmente a diferença dos valores da função nos pontos final e inicial da curva. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular isso passo a passo. Primeiro, avaliamos $ xy $ no ponto final xy :
(-4, 3)
Depois, avaliamos $ xy $ no ponto inicial xy gr|(-4,3) = (-4) times 3 = -12 :