Perguntaram a José quantos anos tinha sua filha e ele respondeu: “A idade dela é numericamente igual à maior das soluções inteiras da inequação 2x2 − 31x − 70 < 0.” É correto afirmar que a idade da filha de José é um número:

Passo 1

Então, a pergunta é sobre a idade da filha do José. Ele disse que a idade dela é igual à maior das soluções inteiras da inequação 2x^2 - 31x - 70 < 0. Vamos usar álgebra, especificamente inequações quadráticas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as soluções da equação associada 2x^2 - 31x - 70 = 0. Para resolver uma equação quadrática do tipo ax^2 + bx + c = 0, usamos a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 2, b = -31 e c = -70.

Passo 3

Calculando o discriminante ( De):
De
Como De 0, temos duas soluções reais distintas.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
x = 31 pm raiz15214 = 31 pm 394
Portanto, as soluções são:
x1 = 31 + 394 = 704 = 17,5
x2 = 31 - 394 = -84 = -2

Passo 5

Como a inequação é 2x^2 - 31x - 70 < 0 e o coeficiente de x^2 é positivo, o gráfico da parábola está voltado para cima. Isso significa que a inequação será verdadeira entre as raízes encontradas, ou seja, para x entre -2 e 17,5.

Passo 6

Estamos buscando soluções inteiras dentro desse intervalo. Os números inteiros entre -2 e 17,5 são: -1, 0, 1, 2, ldots, 17. A maior dessas soluções é 17.

Resposta

A idade da filha de José é 17 anos, que é um número ímpar.

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