Na última eleição para a presidência de um clube, duas chapas se inscreveram (I e II). Há dois tipos de sócio: patrimoniais e contribuintes. Votos de sócios patrimoniais têm peso 0,6 e de sócios contribuintes têm peso 0,4. A chapa I recebeu 850 votos de sócios patrimoniais e 4 300 de sócios contribuintes; a chapa II recebeu 1 300 votos de sócios patrimoniais e 2 120 de sócios contribuintes. Não houve abstenções, votos em branco ou nulos, e a chapa I foi vencedora. Haverá uma nova eleição para a presidência do clube, com o mesmo número e tipos de sócios, e as mesmas chapas da eleição anterior. Uma consulta feita pela chapa II mostrou que os sócios patrimoniais não mudarão seus votos, e que pode contar com os votos dos sócios contribuintes da última eleição. Assim, para que vença, será necessária uma campanha junto aos sócios contribuintes com o objetivo de que mudem seus votos para a chapa II. A menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto da chapa I para a chapa II para que esta seja vencedora é
a) 449
b) 753
c) 866
d) 941
e) 1 09

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma eleição em um clube onde existem dois tipos de sócios: patrimoniais e contribuintes. Os votos dos patrimoniais valem 0,6 e os dos contribuintes valem 0,4. Duas chapas, a I e a II, participaram da última eleição, e agora queremos descobrir quantos votos dos sócios contribuintes da chapa I precisam mudar para a chapa II para que a chapa II vença na próxima eleição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a pontuação total de cada chapa na última eleição.
Chapa I:
  • Votos patrimoniais: 850
  • Votos contribuintes: 4.300
Pontuação: 850 times 0,6 + 4300 times 0,4
Chapa II:
  • Votos patrimoniais: 1.300
  • Votos contribuintes: 2.120
Pontuação: 1300 times 0,6 + 2120 times 0,4

Passo 3

Vamos calcular essas pontuações:
Chapa I:
850 times 0,6 = 510
4300 times 0,4 = 1720
Total: 510 + 1720 = 2230
Chapa II:
1300 times 0,6 = 780
2120 times 0,4 = 848
Total: 780 + 848 = 1628
Então, na última eleição, a Chapa I teve 2.230 pontos e a Chapa II teve 1.628 pontos.

Passo 4

Agora, na nova eleição, os sócios patrimoniais não vão mudar seus votos. Portanto, a pontuação dos patrimoniais permanece a mesma:
Chapa I: 850 patrimoniais times 0,6 = 510
Chapa II: 1.300 patrimoniais times 0,6 = 780
A diferença vai estar nos votos dos sócios contribuintes. Queremos saber quantos votos x da Chapa I precisam mudar para a Chapa II para que a Chapa II tenha mais pontos que a Chapa I.

Passo 5

Vamos expressar as pontuações com a mudança de votos:
Chapa I:
Votos contribuintes: 4300 - x
Pontuação: 510 + (4300 - x) times 0,4
Chapa II:
Votos contribuintes: 2120 + x
Pontuação: 780 + (2120 + x) times 0,4
Queremos que a pontuação da Chapa II seja maior que a da Chapa I:
780 + (2120 + x) times 0,4 > 510 + (4300 - x) times 0,4

Passo 6

Vamos resolver a inequação:
780 + 848 + 0,4x > 510 + 1720 - 0,4x
Somando:
1628 + 0,4x > 2230 - 0,4x
Agora, vamos somar 0,4x nos dois lados:
1628 + 0,8x > 2230
Subtraindo 1628 dos dois lados:
0,8x > 2230 - 1628
0,8x > 602
Dividindo ambos os lados por 0,8:
x > 6020,8
x > 752,5

Passo 7

Como x representa o número de sócios que precisam mudar, vamos arredondar para cima:
x = 753

Resposta

A menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto da chapa I para a chapa II para que esta seja vencedora é 753.

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