No seu perigeu um satélite terrestre estava a uma distância De da superfície terrestre e a uma velocidade de módulo , ambas conhecidas. Com a aceleração da gravidade próxima da superfície terrestre g e o raio da Terra conhecidos, determine a distância máxima triang<= D que o satélite atinge da superfície terrestre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de mecânica orbital aqui. A situação é um satélite que está no ponto mais próximo da Terra, chamado perigeu, a uma distância De da superfície terrestre e com uma velocidade v conhecida. Também sabemos a aceleração da gravidade na superfície da Terra, g, e o raio da Terra, R. Nosso objetivo é encontrar a distância máxima De que o satélite atinge da superfície terrestre, ou seja, no ponto mais afastado chamado apogeu. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e de momento angular em órbitas elípticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as distâncias envolvidas. No perigeu, a distância total do satélite até o centro da Terra é rp = R + De. No apogeu, essa distância será ra = R + De.

Passo 3

Sabemos que em órbitas elípticas, o momento angular é conservado. O momento angular L é dado por:
L = m cdot r cdot vperp
Como o movimento é no plano orbital e a velocidade no perigeu é perpendicular à linha que liga o satélite ao centro da Terra, temos:
L = m cdot rp cdot v

Passo 4

No apogeu, a velocidade do satélite será va, e o momento angular será:
L = m cdot ra cdot va
Como L é constante, podemos igualar as duas expressões:
m cdot rp cdot v = m cdot ra cdot va
Cancelando a massa m:
rp cdot v = ra cdot va

Passo 5

Agora, vamos usar a conservação da energia mecânica. A energia total E na órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional:
E = 12 m v^2 - G M mr
Essa energia é a mesma no perigeu e no apogeu:
12 m v^2 - G M mrp = 12 m va^2 - G M mra
Podemos dividir toda a equação por m:
12 v^2 - G Mrp = 12 va^2 - G Mra

Passo 6

Vamos isolar va da equação do momento angular:
va = rp cdot vra
Substituindo isso na equação da energia:
12 v^2 - G Mrp = 12 ( rp cdot vra )^2 - G Mra

Passo 7

Vamos resolver para ra. Primeiro, simplificamos a equação:
12 v^2 - G Mrp = 12 rp^2 v^2ra^2 - G Mra
Multiplicando ambos os lados por 2 ra^2 para eliminar os denominadores:
ra^2 v^2 - 2 G M ra = rp^2 v^2 - 2 G M rp

Passo 8

Rearranjando os termos:
ra^2 v^2 - 2 G M ra - rp^2 v^2 + 2 G M rp = 0
Isso forma uma equação quadrática na variável ra:
ra^2 v^2 - 2 G M ra + (- rp^2 v^2 + 2 G M rp) = 0

Passo 9

Vamos resolver a equação quadrática na forma A ra^2 + B ra + C = 0, onde:
A = v^2 B = -2 G M C = - rp^2 v^2 + 2 G M rp
Usando a fórmula de Bhaskara:
ra = -B pm raizB^2 - 4 A C2 A

Passo 10

Substituindo os valores de A, B e C:
ra = 2 G M pm raiz(2 G M)^2 - 4 v^2 (- rp^2 v^2 + 2 G M rp)2 v^2
Simplificando dentro da raiz:
ra = 2 G M pm raiz4 G^2 M^2 + 4 v^4 rp^2 - 8 G M v^2 rp2 v^2
Fatorando:
ra = 2 G M pm 2 raizG^2 M^2 + v^4 rp^2 - 2 G M v^2 rp2 v^2
Cancelando o 2:
ra = G M pm raizG^2 M^2 + v^4 rp^2 - 2 G M v^2 rpv^2

Passo 11

Vamos considerar apenas a solução positiva, já que a distância não pode ser negativa:
ra = G M + raizG^2 M^2 + v^4 rp^2 - 2 G M v^2 rpv^2

Passo 12

Agora, lembrando que ra = R + De e rp = R + De, substituímos:
R + De
Isolando De:
De

Resposta

A distância máxima De que o satélite atinge da superfície terrestre é dada por:
De

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