No seu perigeu um satélite terrestre estava a uma distância
da superfície terrestre e a uma velocidade de módulo , ambas conhecidas. Com a aceleração da gravidade próxima da superfície terrestre g e o raio da Terra conhecidos, determine a distância máxima
que o satélite atinge da superfície terrestre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de mecânica orbital aqui. A situação é um satélite que está no ponto mais próximo da Terra, chamado perigeu, a uma distância
da superfície terrestre e com uma velocidade
conhecida. Também sabemos a aceleração da gravidade na superfície da Terra,
, e o raio da Terra,
. Nosso objetivo é encontrar a distância máxima
que o satélite atinge da superfície terrestre, ou seja, no ponto mais afastado chamado apogeu. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e de momento angular em órbitas elípticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as distâncias envolvidas. No perigeu, a distância total do satélite até o centro da Terra é
. No apogeu, essa distância será
.
Passo 3
Sabemos que em órbitas elípticas, o momento angular é conservado. O momento angular
é dado por:
Como o movimento é no plano orbital e a velocidade no perigeu é perpendicular à linha que liga o satélite ao centro da Terra, temos:
Passo 4
No apogeu, a velocidade do satélite será
, e o momento angular será:
Como
é constante, podemos igualar as duas expressões:
Cancelando a massa
:
Passo 5
Agora, vamos usar a conservação da energia mecânica. A energia total
na órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional:
Essa energia é a mesma no perigeu e no apogeu:
Podemos dividir toda a equação por
:
Passo 6
Vamos isolar
da equação do momento angular:
Substituindo isso na equação da energia:
Passo 7
Vamos resolver para
. Primeiro, simplificamos a equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 8
Rearranjando os termos:
Isso forma uma equação quadrática na variável
:
Passo 9
Vamos resolver a equação quadrática na forma
, onde:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 10
Substituindo os valores de
,
e
:
Simplificando dentro da raiz:
Fatorando:
Cancelando o 2:
Passo 11
Vamos considerar apenas a solução positiva, já que a distância não pode ser negativa:
Passo 12
Agora, lembrando que
e
, substituímos:
Isolando
:
Resposta
A distância máxima
que o satélite atinge da superfície terrestre é dada por: