Uma partícula de massa m é lançada verticalmente na superfície da terra num local de latitude
no hemisfério Norte. A partícula chega até uma altura máxima H . O observador terrestre constata que ela se desvia lateralmente para oeste conforme sobe. Calcule o desvio lateral
desse corpo ao chegar no ponto de altura máxima y
em função de (
,
), onde
é a velocidade angular da Terra em torno de si mesma. Despreze qualquer efeito da força de Coriolís ao longo da direção y.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula lançada verticalmente na Terra e como ela desvia para o oeste ao subir até a altura máxima $ H
\omega
g
H
\lambda $) onde o lançamento ocorre.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a partícula é lançada verticalmente na direção norte ou sul para simplificar, já que a latitude $ \lambda $ nos ajuda a determinar a componente da força que causa o desvio para o oeste.
Passo 3
Sabemos que a Terra está girando com uma velocidade angular $ \omega $. Essa rotação cria uma força fictícia chamada força de Coriolis, que faz com que objetos em movimento na superfície da Terra desviem de sua trajetória.
Passo 4
A força de Coriolis é dada por:
onde $ m $ é a massa da partícula, $ \vec{\omega} $ é o vetor velocidade angular da Terra, e $ \vec{v} $ é a velocidade da partícula.
Passo 5
No ponto de altura máxima $ H $, a velocidade vertical da partícula é zero. Contudo, a partícula ainda está sob a influência da rotação da Terra durante todo o percurso.
Passo 6
Para encontrar o desvio lateral $ \Delta x $, precisamos integrar a aceleração de Coriolis ao longo do tempo em que a partícula está subindo. A aceleração lateral causada pela Coriolis é:
onde $ v_y $ é a velocidade vertical da partícula e $ \lambda $ é a latitude.
Passo 7
Como a partícula é lançada verticalmente, a velocidade inicial $ v_0 $ pode ser relacionada à altura máxima $ H $ pela equação:
Essa é a velocidade que a partícula tem ao ser lançada para atingir a altura $ H $.
Passo 8
O tempo total de subida até a altura máxima é dado por:
Passo 9
Agora, podemos calcular o desvio lateral $ \Delta x $ integrando a aceleração de Coriolis ao longo do tempo:
Como $ v_y = v_0 - g t $, temos:
Passo 10
Substituindo $ v_0 = \sqrt{2gH} $ e $ t = \sqrt{\frac{2H}{g}} $:
Simplificando:
Resposta
O desvio lateral $ \Delta x $ da partícula ao atingir a altura máxima $ H $ é dado por: