Seja o eixo onde o trecho BC é construído em alumínio de seção vazada com diâmetro externo
e interno de diâmetro
e o trecho AB de aço de seção cheia com diâmetro
.
Sabendo que a tensão admissível da barra de aço
, na barra de alumínio
e que ângulo de torção total no ponto
, dado na tabela abaixo, não pode ser superado
Determine o máximo torque (
) que pode ser aplicado, considerando a resistência e a deformação angular.
Determine o máximo torque (
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um eixo composto por duas partes: a barra AB é de aço com seção circular cheia e diâmetro $ d_{\mathrm{AB}} $, e a barra BC é de alumínio com seção circular vazada, tendo diâmetro externo $ D_{\mathrm{BC}} $ e interno $ d_{\mathrm{BC}} $. A gente sabe as tensões admissíveis para cada material: 80 MPa para o aço e 60 MPa para o alumínio. Além disso, tem um ângulo total de torção no ponto A, que não pode ser superado.
O objetivo aqui é determinar o máximo torque ($ T $) que pode ser aplicado nesse eixo, levando em conta tanto a resistência dos materiais quanto a deformação angular permitida.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de torsão em eixos circulares, calcular o momento polar de inércia para cada seção e usar as fórmulas de tensão de cisalhamento e ângulo de torção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento polar de inércia ($ J $) para cada seção do eixo, que é essencial para analisar a resistência à torção.
Para uma seção circular cheia (como a barreira AB de aço), a fórmula do $ J $ é:
Já para uma seção circular vazada (como a barra BC de alumínio), a fórmula é:
Esses valores de $ J $ nos ajudam a determinar a resistência de cada seção à aplicação do torque.
Passo 3
Agora, vamos calcular o torque máximo que cada seção pode suportar sem exceder a tensão admissível.
A fórmula para a tensão de cisalhamento ($ \tau $) é:
Onde:
- $ T $ é o torque aplicado,
- $ r $ é o raio da seção,
- $ J $ é o momento polar de inércia.
Rearranjando para encontrar $ T $:
Para a barra AB de aço:
E para a barra BC de alumínio:
Aqui, $ \tau_{\mathrm{AB}} = 80 $ MPa e $ \tau_{\mathrm{BC}} = 60 $ MPa.
Passo 4
Além da resistência ao torque, precisamos considerar a deformação angular. A deformação ($ \varphi $) em cada seção é dada por:
Onde:
- $ L $ é o comprimento da seção,
- $ G $ é o módulo de rigidez do material,
- $ J $ é o momento polar de inércia.
Como o ângulo total de torção no ponto A não pode exceder 16,00 (assumindo que seja em radianos), temos:
Rearranjando para encontrar $ T $:
Aqui, $ G $ varia para cada material (aço e alumínio), e $ L_{\mathrm{total}} $ é a soma dos comprimentos das duas seções.
Passo 5
Agora, o torque máximo que pode ser aplicado será o menor valor entre o cálculo baseado na resistência dos materiais e o cálculo baseado na deformação angular.
Ou seja:
Isso garante que tanto a resistência quanto a deformação angular não sejam excedidas quando o torque é aplicado.
Resposta
Portanto, o máximo torque ($ T $) que pode ser aplicado no eixo, considerando a resistência dos materiais e a deformação angular, é o menor valor obtido entre $ T_{\mathrm{AB}} $, $ T_{\mathrm{BC}} $ e $ T_{\mathrm{deformação}} $. Esse valor garante que o sistema opere dentro dos limites seguros estabelecidos pelas tensões admissíveis e pela deformação angular permitida.