Com a perspectiva de calcular a transferência e calor entre um corpo humano e sua vizinhança, focamos em uma camada de pele e gordura, com sua superfície externa exposta ao ambiente e sua superfície interna a uma temperatura um pouco abaixo da temperatura corporal, Ti=35^circ C=308 K. Considere uma pessoa com uma camada de pele/gordura com espessura L=3 mm e com uma condutividade térmica efetiva k=0,3 W / m K ). A pessoa tem uma área superficial de 1,8 m^2 e está vestindo roupa de banho. A emissividade da pele é varepsilon=0,95. Para acelerar a solução, escrever o fluxo térmico por radiação em função do coeficiente de transferência de calor por radiação ( hr=5,9 W / m^2 K ).
Estando a pessoa imersa em água a Tinfty=297 K, qual é a temperatura superficial da pele e a taxa de perda de calor. A transferência de calor para a água é caracterizada por um coeficiente de convecção h=200 W /(m^2 K).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um problema de transferência de calor entre o corpo de uma pessoa e o ambiente ao redor. O foco está na camada de pele e gordura dessa pessoa. A ideia é descobrir qual é a temperatura na superfície da pele e quanta energia está sendo perdida por calor. Para isso, vamos usar conceitos de condução, convecção e radiação térmica. Precisamos conhecer as propriedades térmicas da pele, a temperatura do ambiente (no caso, água), e os coeficientes de transferência de calor por convecção e radiação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transferência de calor na camada de pele e gordura. Temos uma camada com espessura e condutividade térmica . A temperatura interna dessa camada é , e a temperatura externa do ambiente (água) é .
A perda de calor ocorre por dois mecanismos: convecção para a água e radiação para o ambiente. Vamos calcular cada um separadamente e depois somar para obter a taxa total de perda de calor.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a transferência de calor por condução através da camada de pele e gordura. Usamos a Lei de Fourier para condução térmica:
dotQcond = k cdot A cdot (Ti - Ts)L
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor por condução,
  • é a condutividade térmica,
  • é a área superficial,
  • é a temperatura interna,
  • é a temperatura superficial da pele,
  • é a espessura da camada.

Passo 4

Agora, vamos considerar a transferência de calor por convecção e radiação na superfície da pele. A transferência total de calor na superfície é a soma das perdas por convecção e radiação:
dotQtotal = dotQconvec + dotQrad
Sabemos que:
dotQconvec = h cdot A cdot (Ts - Tinfty)
dotQrad = hr cdot A cdot (Ts - Tinfty)
Onde:
  • dotQtotal = (h + hr) cdot A cdot (Ts - Tinfty) é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é o coeficiente de transferência de calor por radiação.
Podemos combinar esses termos:

Passo 5

Como o sistema está em equilíbrio térmico, a taxa de transferência de calor por condução na camada interna é igual à taxa total de perda de calor na superfície:
dotQcond = dotQtotal
Substituindo as expressões:
k cdot A cdot (Ti - Ts)L = (h + hr) cdot A cdot (Ts - Tinfty)
Podemos simplificar k cdot (Ti - Ts)L = (h + hr) cdot (Ts - Tinfty) dos dois lados:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar k cdot (Ti - Ts)L = (h + hr) cdot (Ts - Tinfty) , a temperatura superficial da pele:
k cdot (Ti - Ts) = L cdot (h + hr) cdot (Ts - Tinfty)
Multiplicando ambos os lados por k cdot Ti - k cdot Ts = L cdot (h + hr) cdot Ts - L cdot (h + hr) cdot Tinfty :
k cdot Ti + L cdot (h + hr) cdot Tinfty = Ts cdot (k + L cdot (h + hr))
Distribuindo:
Ts = k cdot Ti + L cdot (h + hr) cdot Tinftyk + L cdot (h + hr)
Rearranjando os termos para isolar :
Finalmente, isolando :

Passo 7

Vamos agora substituir os valores numéricos:
Dados:
  • Ts = 0,3 cdot 308 + 0,003 cdot (200 + 5,9) cdot 2970,3 + 0,003 cdot (200 + 5,9)
  • Ts = 92,4 + 0,003 cdot 205,9 cdot 2970,3 + 0,003 cdot 205,9
  • Ts = 92,4 + 0,003 cdot 61230,30,3 + 0,6177
  • Ts = 92,4 + 183,69090,9177 ²
  • Ts = 276,09090,9177 approx 300,7 , K ²
  • Ts = 300,7 , K - 273,15 approx 27,6^circC
Substituindo na equação:
Calculando os termos:
Convertendo para Celsius:

Passo 8

Agora que temos dotQtotal = (h + hr) cdot A cdot (Ts - Tinfty) , vamos calcular a taxa de perda de calor dotQtotal = (200 + 5,9) cdot 1,8 cdot (300,7 - 297) :
dotQtotal = 205,9 cdot 1,8 cdot 3,7
Substituindo os valores:
dotQtotal = 205,9 cdot 6,66 approx 1371 , W

Resposta

A temperatura superficial da pele é aproximadamente e a taxa de perda de calor é de cerca de .

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