Um peso de 50 N está suspenso por uma mola de rigidez 4000 N / m e sujeito a uma força harmônica de amplitude 60N e frequência 6Hz. Determine: A amplitude do movimento forçado do peso.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão nos diz que temos um peso de 50 N pendurado numa mola com rigidez de 4000 N/m. Além disso, essa mola está sendo agitada por uma força harmônica que tem uma amplitude de 60 N e uma frequência de 6 Hz. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a amplitude do movimento forçado desse peso. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações forçadas em sistemas massa-mola.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o peso em massa. Sabemos que peso § é igual à massa (m) multiplicada pela aceleração da gravidade (g), que é aproximadamente 9,81 m/s². Então, podemos calcular a massa assim:
m = Pg = 50, N9,81, m/s² approx 5,10, kg ²

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a frequência angular da força que está agitando a mola. A frequência ( omega = 2pi f = 2pi times 6, Hz approx 37,70, rad/s ) é dada em Hertz (Hz), mas para nossos cálculos, precisamos converter isso para radianos por segundo (rad/s) usando a fórmula:

Passo 4

O próximo passo é calcular a frequência natural do sistema massa-mola. A frequência natural ( omega0 = raizkm = raiz4000, N/m5,10, kg approx 28,07, rad/s ) é dada por:

Passo 5

Para encontrar a amplitude do movimento forçado ( A = F0|k - momega^2| ), usamos a fórmula da amplitude em oscilações forçadas sem considerar o amortecimento (since it não foi mencionado no problema):
Onde:
  • é a amplitude da força externa (60 N)
  • é a constante da mola (4000 N/m)
  • é a massa (5,10 kg)
  • é a frequência angular da força externa (37,70 rad/s)

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
A = 60, N|4000, N/m - 5,10, kg times (37,70, rad/s)^2|

Passo 7

Calculando o denominador passo a passo:
momega^2 = 5,10, kg times (37,70, rad/s)^2 approx 5,10 times 1420,9, rad²/s² approx 7241,6, N/m ²²
Então,
|k - momega^2| = |4000, N/m - 7241,6, N/m| = | -3241,6, N/m| = 3241,6, N/m

Passo 8

Agora, substituímos de volta na fórmula da amplitude:
A = 60, N3241,6, N/m approx 0,0185, m
Convertendo para centímetros:
0,0185, m times 100 = 1,85, cm

Resposta

A amplitude do movimento forçado do peso é aproximadamente 1,85 cm.

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