O peso dos fardos recebidos por um determinado depósito tem uma média de 150kg e um desvio padrão de 25kg. Qual é a probabilidade de 25 fardos, recebidos ao acaso e carregados em um elevador, excederem o limite especifico de segurança do elevador, que é de 4100kg?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente sabe que cada fardo pesa, em média, 150 kg, com um desvio padrão de 25 kg. A pergunta é: qual a probabilidade de que, ao pegar 25 fardos aleatoriamente e colocá-los no elevador, o peso total ultrapasse o limite de segurança do elevador, que é de 4100 kg?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística como média, desvio padrão, e a distribuição normal, além do Teorema Central do Limite, que nos ajuda a entender a distribuição da soma de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média total que 25 fardos devem ter. Se cada fardo tem, em média, 150 kg, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão total dos 25 fardos. O desvio padrão da soma de variáveis independentes é igual ao desvio padrão individual multiplicado pela raiz quadrada do número de variáveis. Então:
Como queremos o desvio padrão em kg, tiramos a raiz quadrada:
Ops, parece que houve um erro na conta. Vamos refazer:
Na verdade, o desvio padrão total é dado por:
Passo 4
Agora, queremos saber a probabilidade de que a soma dos 25 fardos ultrapasse 4100 kg. Vamos calcular o valor z, que nos diz quantos desvios padrão o limite está acima da média:
Passo 5
Com o valor z calculado, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade de z ser maior que 2,8. Consultando a tabela, sabemos que a área à direita de z = 2,8 corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,0026.
Resposta
A probabilidade de que os 25 fardos excedam o limite de 4100 kg é de aproximadamente 0,26%.