Um estudo analisou o comportamento de uma função f(x) que descreve a variação da temperatura em uma cidade ao longo de um dia. Observou-se que a função é diferenciável no intervalo [0, 24] e que sua derivada é positiva no intervalo [0, 12] e negativa no intervalo [12, 24]. Com base no texto apresentado, analise as afirmativas a seguir: I. A função f(x) é crescente no intervalo [12, 24]. II. A função f(x) é decrescente no intervalo [0, 24]. III. A função f(x) possui um ponto de máximo no intervalo [12, 24]. IV. A função f(x) é decrescente no intervalo [0, 12]. É correto o que se afirma em:
a. III, apenas.
b. II e III, apenas.
c. I, apenas.
d. II, apenas.
e. I e IV, apenas.
a. III, apenas.
b. II e III, apenas.
c. I, apenas.
d. II, apenas.
e. I e IV, apenas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre uma função $ f(x) $ que mostra como a temperatura muda numa cidade durante um dia, que vai das 0 às 24 horas. A função é diferenciável nesse intervalo, ou seja, dá pra calcular a derivada dela em qualquer ponto desse período. Sabemos também que a derivada $ f’(x) $ é positiva de 0 a 12 horas e negativa de 12 a 24 horas. Vamos analisar as afirmativas dadas usando conceitos de derivadas e comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a derivada de uma função é positiva em um intervalo, a função está crescente nesse intervalo. Isso significa que, conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ também aumenta. No nosso caso, $ f’(x) > 0 $ no intervalo [0, 12], então $ f(x) $ é crescente de 0 a 12 horas.
Passo 3
Agora, quando a derivada é negativa, a função está decrescente no intervalo considerado. Assim, como $ f’(x) < 0 $ no intervalo [12, 24], a função $ f(x) $ está decrescendo de 12 a 24 horas.
Passo 4
Vamos analisar cada afirmativa:
I. A função $ f(x) $ é crescente no intervalo [12, 24].
Isso está errado, porque a derivada é negativa nesse intervalo, então a função é decrescente, não crescente.
Isso está errado, porque a derivada é negativa nesse intervalo, então a função é decrescente, não crescente.
II. A função $ f(x) $ é decrescente no intervalo [0, 24].
Isso também está errado. A função é crescente de 0 a 12 e decrescente de 12 a 24, não decrescente em todo o intervalo.
Isso também está errado. A função é crescente de 0 a 12 e decrescente de 12 a 24, não decrescente em todo o intervalo.
III. A função $ f(x) $ possui um ponto de máximo no intervalo [12, 24].
Isso está correto. No ponto $ x = 12 $, a derivada muda de positiva para negativa, indicando um ponto de máximo.
Isso está correto. No ponto $ x = 12 $, a derivada muda de positiva para negativa, indicando um ponto de máximo.
IV. A função $ f(x) $ é decrescente no intervalo [0, 12].
Isso está errado, porque nesse intervalo a derivada é positiva, então a função é crescente.
Isso está errado, porque nesse intervalo a derivada é positiva, então a função é crescente.
Resposta
A afirmativa correta é a III, apenas.
Alternativa a. III, apenas.
Alternativa a. III, apenas.