As funções contínuas são aquelas em que não há descontinuidades em seu gráfico. Em outras palavras, o gráfico de uma função contínua pode ser desenhado sem levantar o lápis do papel, formando uma curva suave e contínua. Sobre funções contínuas, dado um intervalo fechado [a, b], analise as afirmativas a seguir:
I. Se uma função f(x) é contínua em um intervalo [a, b], então ela é contínua em cada ponto do intervalo. I
I. Se uma função for definida por partes, ela é considerada contínua em seu domínio. II
I. Se uma função f(x) tem um ponto de descontinuidade em um intervalo [a, b], então ela não é contínua nesse intervalo.
IV. Se uma função f(x) é contínua em um ponto c, então ela é contínua em todo o intervalo que contém c. É correto o que se afirma em:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando sobre funções contínuas, que são aquelas cujo gráfico não tem “quebras” ou “saltos”. A questão apresenta quatro afirmações sobre funções contínuas em um intervalo fechado [a, b] e pede para identificar quais estão corretas. Para resolver, precisamos saber o que significa uma função ser contínua em um intervalo e em pontos específicos.

Passo 2

Afirmação I: “Se uma função $ f(x) $ é contínua em um intervalo f(x) , então ela é contínua em cada ponto do intervalo.”
Essa afirmação está dizendo que se a função não tem descontinuidades no intervalo, então em cada ponto dentro desse intervalo a função também é contínua. Isso está correto porque, por definição, se uma função é contínua em um intervalo fechado, ela não apresenta quebras em nenhum ponto desse intervalo.

Passo 3

Afirmação II: “Se uma função for definida por partes, ela é considerada contínua em seu domínio.”
Uma função definida por partes pode ou não ser contínua em todo o seu domínio. Depende de como as partes se conectam. Essa afirmação está incorreta porque uma função definida por partes pode ter descontinuidades nos pontos onde as diferentes partes se encontram, a menos que essas partes se conectem perfeitamente.

Passo 4

Afirmação III: “Se uma função $ f(x) $ tem um ponto de descontinuidade em um intervalo f(x) , então ela não é contínua nesse intervalo.”
Se há pelo menos um ponto de descontinuidade em [a, b], a função não é contínua em todo o intervalo. Essa afirmação está correta porque a presença de qualquer descontinuidade faz com que a função não seja contínua em todo o intervalo.

Passo 5

Afirmação IV: “Se uma função $ f(x) $ é contínua em um ponto $ c $, então ela é contínua em todo o intervalo que contém $ c $.”
Ser contínuo em um ponto específico $ c $ não garante que a função seja contínua em todo o intervalo que contém $ c $. Essa afirmação está incorreta porque a continuidade em um ponto não implica continuidade nos pontos ao redor.

Resposta

As afirmações I e III estão corretas.

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