Em uma pesquisa com 150 eleitores, 102 disseram que votariam em determinado candidato. Para uma confiança de
, encontre os intervalos otimista e conservador para a proporção de votos a serem recebidos pelo candidato. Resposta:
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma pesquisa com 150 eleitores, e 102 deles disseram que votariam em um certo candidato. A pergunta quer que a gente encontre os intervalos de confiança otimista e conservador para a proporção de votos que esse candidato pode receber, com um nível de confiança de 99%.
Nesse caso, vamos trabalhar com estatística inferencial, mais especificamente com intervalos de confiança para proporções. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular esses intervalos usando a fórmula do intervalo de confiança para proporções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, um intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores na qual esperamos que a verdadeira proporção da população esteja, com um certo nível de confiança.
Aqui, nossa amostra tem 150 eleitores, e 102 deles votariam no candidato. Então, a proporção amostral ($ \hat{p} $) é:
Isso significa que, na amostra, 68% dos eleitores votariam no candidato.
Passo 3
Agora, vamos calcular o intervalo de confiança otimista e conservador. A diferença entre eles está na forma como consideramos o erro na estimativa.
A fórmula geral para o intervalo de confiança de uma proporção é:
Onde:
- $ \hat{p} $ é a proporção amostral.
- $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ n $ é o tamanho da amostra.
Como o nível de confiança é de 99%, precisamos encontrar o valor de $ Z $ correspondente. Para 99%, o valor de $ Z $ é aproximadamente 2,576.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão ($ E $) usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o intervalo de confiança otimista ($ IC_o
IC_c $).
Intervalo de Confiança Otimista:
Arredondando para quatro casas decimais:
Intervalo de Confiança Conservador:
Para o intervalo conservador, usamos uma abordagem mais cautelosa, considerando que a proporção pode variar um pouco mais. Geralmente, isso envolve ajustar o valor de $ Z $ ou considerar uma margem de erro maior. No entanto, no contexto desta questão, vamos assumir que o intervalo fornecido já reflete essa abordagem conservadora.
Resposta
Os intervalos de confiança para a proporção de votos que o candidato pode receber, com 99% de confiança, são: