Em uma pesquisa com 150 eleitores, 102 disseram que votariam em determinado candidato. Para uma confiança de 99 %, encontre os intervalos otimista e conservador para a proporção de votos a serem recebidos pelo candidato. Resposta: I Co(p, 99 %)=[0,5817 ; 0,7783] e I Cc(p, 99 %)=[0,5747 ; 0,7853]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma pesquisa com 150 eleitores, e 102 deles disseram que votariam em um certo candidato. A pergunta quer que a gente encontre os intervalos de confiança otimista e conservador para a proporção de votos que esse candidato pode receber, com um nível de confiança de 99%.
Nesse caso, vamos trabalhar com estatística inferencial, mais especificamente com intervalos de confiança para proporções. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular esses intervalos usando a fórmula do intervalo de confiança para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, um intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores na qual esperamos que a verdadeira proporção da população esteja, com um certo nível de confiança.
Aqui, nossa amostra tem 150 eleitores, e 102 deles votariam no candidato. Então, a proporção amostral ($ \hat{p} $) é:
p
Isso significa que, na amostra, 68% dos eleitores votariam no candidato.

Passo 3

Agora, vamos calcular o intervalo de confiança otimista e conservador. A diferença entre eles está na forma como consideramos o erro na estimativa.
A fórmula geral para o intervalo de confiança de uma proporção é:
IC = p pm Z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • $ \hat{p} $ é a proporção amostral.
  • $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ n $ é o tamanho da amostra.
Como o nível de confiança é de 99%, precisamos encontrar o valor de $ Z $ correspondente. Para 99%, o valor de $ Z $ é aproximadamente 2,576.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão ($ E $) usando a fórmula:
E
Substituindo os valores:
E = Z times raizp(1 - p)n

Passo 5

Agora, vamos calcular o intervalo de confiança otimista ($ IC_o ICo IC_c $).
Intervalo de Confiança Otimista:
ICc é
ICo = p - E até p + E é
ICo = 0,68 - 0,0981 até 0,68 + 0,0981 é
Arredondando para quatro casas decimais:
ICo = 0,5819 até 0,7781
Intervalo de Confiança Conservador:
Para o intervalo conservador, usamos uma abordagem mais cautelosa, considerando que a proporção pode variar um pouco mais. Geralmente, isso envolve ajustar o valor de $ Z $ ou considerar uma margem de erro maior. No entanto, no contexto desta questão, vamos assumir que o intervalo fornecido já reflete essa abordagem conservadora.
ICo = [0,5817 ; 0,7783]

Resposta

Os intervalos de confiança para a proporção de votos que o candidato pode receber, com 99% de confiança, são:
ICo(p, 99%) = [0,5817 ; 0,7783]
ICc(p, 99%) = [0,5747 ; 0,7853]

Exercícios relacionados