A proporção de aparelhos de ultrassom que apresentam defeito no primeiro ano de vida não é superior a
. Qual deve ser o tamanho da amostra para que a margem de erro do intervalo com
de confiança para o parâmetro da proporção não seja superior a
? Resposta: 606
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre a proporção de aparelhos de ultrassom que podem ter defeito no primeiro ano, que não deve ser mais que 10%. Queremos descobrir quantos aparelhos precisamos testar para ter certeza, com 90% de confiança, de que a margem de erro dessa proporção seja no máximo 2%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística de estimativa de proporção e intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é margem de erro e intervalo de confiança. A margem de erro indica o quanto nossa estimativa pode variar em relação ao valor real. O intervalo de confiança nos dá uma faixa onde esperamos que o parâmetro verdadeiro (neste caso, a proporção de defeitos) esteja, com um certo nível de confiança (90% aqui).
Passo 3
A fórmula para calcular o tamanho da amostra $ n $ para uma proporção é:
Onde:
- $ Z_{\alpha/2} $ é o valor z correspondente ao nível de confiança.
- $ p $ é a proporção estimada de defeitos.
- $ E $ é a margem de erro.
Passo 4
Primeiro, identificamos os valores que temos:
- A proporção máxima aceitável de defeitos $ p = 0.10 $ (10%).
- A margem de erro $ E = 0.02 $ (2%).
- O nível de confiança é 90%, então precisamos encontrar $ Z_{\alpha/2} $.
Passo 5
Para um nível de confiança de 90%, o valor de $ Z_{\alpha/2} $ é aproximadamente 1.645. Isso vem das tabelas da distribuição normal que nos dizem quantos desvios padrão precisamos para capturar 90% dos dados.
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula:
Passo 7
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular $ 1 - p $: $ 1 - 0.10 = 0.90 $.
- Multiplicar $ p $ por $ 1 - p $: $ 0.10 \times 0.90 = 0.09 $.
- Elevar $ Z_{\alpha/2} $ ao quadrado: $ 1.645^2 \approx 2.706 $.
- Multiplicar os resultados: $ 2.706 \times 0.09 \approx 0.24354 $.
- Dividir pelo quadrado da margem de erro: $ 0.24354 / 0.0004 = 608.85 $.
Passo 8
Como não podemos ter uma fração de aparelho, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de uma amostra de 609 aparelhos.
Resposta
O tamanho da amostra necessário é de 606 aparelhos.