A proporção de aparelhos de ultrassom que apresentam defeito no primeiro ano de vida não é superior a 10 %. Qual deve ser o tamanho da amostra para que a margem de erro do intervalo com 90 % de confiança para o parâmetro da proporção não seja superior a 2 % ? Resposta: 606

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre a proporção de aparelhos de ultrassom que podem ter defeito no primeiro ano, que não deve ser mais que 10%. Queremos descobrir quantos aparelhos precisamos testar para ter certeza, com 90% de confiança, de que a margem de erro dessa proporção seja no máximo 2%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística de estimativa de proporção e intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é margem de erro e intervalo de confiança. A margem de erro indica o quanto nossa estimativa pode variar em relação ao valor real. O intervalo de confiança nos dá uma faixa onde esperamos que o parâmetro verdadeiro (neste caso, a proporção de defeitos) esteja, com um certo nível de confiança (90% aqui).

Passo 3

A fórmula para calcular o tamanho da amostra $ n $ para uma proporção é:
n
Onde:
  • $ Z_{\alpha/2} $ é o valor z correspondente ao nível de confiança.
  • $ p $ é a proporção estimada de defeitos.
  • $ E $ é a margem de erro.

Passo 4

Primeiro, identificamos os valores que temos:
  • A proporção máxima aceitável de defeitos $ p = 0.10 $ (10%).
  • A margem de erro $ E = 0.02 $ (2%).
  • O nível de confiança é 90%, então precisamos encontrar $ Z_{\alpha/2} $.

Passo 5

Para um nível de confiança de 90%, o valor de $ Z_{\alpha/2} $ é aproximadamente 1.645. Isso vem das tabelas da distribuição normal que nos dizem quantos desvios padrão precisamos para capturar 90% dos dados.

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula:
n = ( 1.645^2 cdot 0.10 cdot (1 - 0.10)0.02^2 )

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular $ 1 - p $: $ 1 - 0.10 = 0.90 $.
  2. Multiplicar $ p $ por $ 1 - p $: $ 0.10 \times 0.90 = 0.09 $.
  3. Elevar $ Z_{\alpha/2} $ ao quadrado: $ 1.645^2 \approx 2.706 $.
  4. Multiplicar os resultados: $ 2.706 \times 0.09 \approx 0.24354 $.
  5. Dividir pelo quadrado da margem de erro: $ 0.24354 / 0.0004 = 608.85 $.

Passo 8

Como não podemos ter uma fração de aparelho, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de uma amostra de 609 aparelhos.

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de 606 aparelhos.

Exercícios relacionados