Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar se existe associação entre a falta de sono e a capacidade de as pessoas resolverem problemas simples. Foram testadas 10 pessoas, mantendo-se sem dormir por um determinado número de horas. Após cada um destes períodos, cada pessoa teve de resolver um teste com adições simples, anotando-se então os erros cometidos. Os dados resultantes são os seguintes:
Número de erros 6 8 6 10 8 14 12 14 12 16
Número de horas sem 8 8 12 12 16 16 20 20 24 24
dormir
Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que quer descobrir se não dormir está relacionado com a quantidade de erros que as pessoas fazem ao resolver problemas simples. Para isso, vamos usar Regressão Linear Simples, que é uma ferramenta estatística para ver se existe uma relação entre duas coisas: aqui, as horas sem dormir (X) e o número de erros (Y). Vamos precisar calcular algumas médias, desvios e aplicar fórmulas de regressão para encontrar a melhor linha que relaciona essas duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados:
Número de horas sem dormir (X) Número de erros (Y)
8 6
8 8
12 6
12 10
16 8
16 14
20 12
20 14
24 12
24 16

Passo 3

Vamos calcular a média de X e a média de Y.
barX = 8 + 8 + 12 + 12 + 16 + 16 + 20 + 20 + 24 + 2410 = 16010 = 16
barY = 6 + 8 + 6 + 10 + 8 + 14 + 12 + 14 + 12 + 1610 = 10610 = 10,6
Então, a média de horas sem dormir é 16 horas e a média de erros é 10,6.

Passo 4

Agora, vamos calcular a covariância entre X e Y e a variância de X. Essas medidas vão nos ajudar a encontrar o coeficiente angular (b₁) da nossa regressão.
Primeiro, calculamos cada par (X - barX) e (Y - barY):
X Y X - 16 Y - 10,6 (X - 16)(Y - 10,6) (X - 16)²
8 6 -8 -4,6 36,8 64
8 8 -8 -2,6 20,8 64
12 6 -4 -4,6 18,4 16
12 10 -4 -0,6 2,4 16
16 8 0 -2,6 0 0
16 14 0 3,4 0 0
20 12 4 1,4 5,6 16
20 14 4 3,4 13,6 16
24 12 8 1,4 11,2 64
24 16 8 5,4 43,2 64
Agora, somamos as colunas de (X - 16)(Y - 10,6) e (X - 16)²:
Soma de (X - barX)(Y - barY) = 36,8 + 20,8 + 18,4 + 2,4 + 0 + 0 + 5,6 + 13,6 + 11,2 + 43,2 = 151,6
Soma de (X - barX)² = 64 + 64 + 16 + 16 + 0 + 0 + 16 + 16 + 64 + 64 = 320 ²

Passo 5

Com esses valores, a fórmula do coeficiente angular $ b_1 $ é:
b1
Agora, o coeficiente linear (b₀) é calculado usando a média:
b1 = sum (X - barX)(Y - barY)sum (X - barX)^2 = 151,6320 approx 0,47375
Então, nossa equação de regressão é:
b0 = barY - b1 times barX = 10,6 - 0,47375 times 16 approx 10,6 - 7,58 = 3,02

Passo 6

Agora, vamos testar se esse modelo é significativo, ou seja, se a falta de sono realmente influencia nos erros. Para isso, vamos realizar um teste de hipótese para o coeficiente $ b_1 $.
Hipóteses:
  • $ H_0 $: $ b_1 = 0 $ (não há relação)
  • $ H_a $: $ b_1 \neq 0 $ (há relação)
Primeiro, precisamos calcular o Erro Padrão de $ b_1 $ e depois o t-estatístico.
Calculando a soma dos quadrados dos resíduos ($ SS_{res} $):
b1
Vamos calcular $ \hat{Y} $ para cada X e depois $ Y - \hat{Y} $:
X Y H0 = 3,02 + 0,474X Y - b1 = 0 (Y - Ha
8 6 3,02 + 0,474*8 = 6,02 -0,02 0,0004
8 8 6,02 1,98 3,9204
12 6 3,02 + 0,474*12 = 8,93 -2,93 8,5809
12 10 8,93 1,07 1,1449
16 8 3,02 + 0,474*16 = 10,63 -2,63 6,9169
16 14 10,63 3,37 11,3569
20 12 3,02 + 0,474*20 = 12,42 -0,42 0,1764
20 14 12,42 1,58 2,4964
24 12 3,02 + 0,474*24 = 14,18 -2,18 4,7524
24 16 14,18 1,82 3,3124
Somando $ (Y - \hat{Y})^2 $:
b1 neq 0
Agora, o Erro Padrão da Regressão (S):
b1
E o Erro Padrão de $ b_1 $ (SE SSres ):
SSres = sum (Y - Y)^2
Agora, o t-estatístico:
Y
Com 8 graus de liberdade (n - 2 = 10 - 2), vamos comparar com o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 95. O valor crítico é aproximadamente 2,306.
Como 3,619 > 2,306, rejeitamos a hipótese nula $ H_0 $. Isso significa que há evidências de que a falta de sono está relacionada com o aumento dos erros.

Passo 7

Por fim, vamos interpretar o , que mostra o quanto da variação em Y (erros) é explicada pelo modelo.
R² = 1 - SSresSStot ²
Primeiro, calculamos $ SS_{tot} = \sum (Y - \bar{Y})^2 $:
Calculando $ Y - \bar{Y} $ para cada Y:
Y Y - 10,6 (Y - 10,6)²
6 -4,6 21,16
8 -2,6 6,76
6 -4,6 21,16
10 -0,6 0,36
8 -2,6 6,76
14 3,4 11,56
12 1,4 1,96
14 3,4 11,56
12 1,4 1,96
16 5,4 29,16
Somando:
SStot = sum (Y - barY)^2
Então,
Y - barY ²
Isso quer dizer que aproximadamente 61,05% da variação nos erros é explicada pelas horas sem dormir.

Resposta

O modelo de regressão linear simples ajustado é:
Y = 3,02 + 0,474X
Com um coeficiente angular significativo (t ≈ 3,619 > 2,306) e um R² de 61,05%, concluímos que há uma associação positiva entre as horas sem dormir e o número de erros cometidos nas tarefas, indicando que quanto mais tempo sem dormir, maior a quantidade de erros.

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