Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar se existe associação entre a falta de sono e a capacidade de as pessoas resolverem problemas simples. Foram testadas 10 pessoas, mantendo-se sem dormir por um determinado número de horas. Após cada um destes períodos, cada pessoa teve de resolver um teste com adições simples, anotando-se então os erros cometidos. Os dados resultantes são os seguintes:
Número de erros | 6 | 8 | 6 | 10 | 8 | 14 | 12 | 14 | 12 | 16 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Número de horas sem | 8 | 8 | 12 | 12 | 16 | 16 | 20 | 20 | 24 | 24 |
dormir
Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.
Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que quer descobrir se não dormir está relacionado com a quantidade de erros que as pessoas fazem ao resolver problemas simples. Para isso, vamos usar Regressão Linear Simples, que é uma ferramenta estatística para ver se existe uma relação entre duas coisas: aqui, as horas sem dormir (X) e o número de erros (Y). Vamos precisar calcular algumas médias, desvios e aplicar fórmulas de regressão para encontrar a melhor linha que relaciona essas duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossos dados:
Número de horas sem dormir (X) | Número de erros (Y) |
---|---|
8 | 6 |
8 | 8 |
12 | 6 |
12 | 10 |
16 | 8 |
16 | 14 |
20 | 12 |
20 | 14 |
24 | 12 |
24 | 16 |
Passo 3
Vamos calcular a média de X e a média de Y.
Então, a média de horas sem dormir é 16 horas e a média de erros é 10,6.
Passo 4
Agora, vamos calcular a covariância entre X e Y e a variância de X. Essas medidas vão nos ajudar a encontrar o coeficiente angular (b₁) da nossa regressão.
Primeiro, calculamos cada par (X -
) e (Y -
):
X | Y | X - 16 | Y - 10,6 | (X - 16)(Y - 10,6) | (X - 16)² |
---|---|---|---|---|---|
8 | 6 | -8 | -4,6 | 36,8 | 64 |
8 | 8 | -8 | -2,6 | 20,8 | 64 |
12 | 6 | -4 | -4,6 | 18,4 | 16 |
12 | 10 | -4 | -0,6 | 2,4 | 16 |
16 | 8 | 0 | -2,6 | 0 | 0 |
16 | 14 | 0 | 3,4 | 0 | 0 |
20 | 12 | 4 | 1,4 | 5,6 | 16 |
20 | 14 | 4 | 3,4 | 13,6 | 16 |
24 | 12 | 8 | 1,4 | 11,2 | 64 |
24 | 16 | 8 | 5,4 | 43,2 | 64 |
Agora, somamos as colunas de (X - 16)(Y - 10,6) e (X - 16)²:
Passo 5
Com esses valores, a fórmula do coeficiente angular $ b_1 $ é:
Agora, o coeficiente linear (b₀) é calculado usando a média:
Então, nossa equação de regressão é:
Passo 6
Agora, vamos testar se esse modelo é significativo, ou seja, se a falta de sono realmente influencia nos erros. Para isso, vamos realizar um teste de hipótese para o coeficiente $ b_1 $.
Hipóteses:
- $ H_0 $: $ b_1 = 0 $ (não há relação)
- $ H_a $: $ b_1 \neq 0 $ (há relação)
Primeiro, precisamos calcular o Erro Padrão de $ b_1 $ e depois o t-estatístico.
Calculando a soma dos quadrados dos resíduos ($ SS_{res} $):
Vamos calcular $ \hat{Y} $ para cada X e depois $ Y - \hat{Y} $:
X | Y |
|
Y -
|
(Y -
|
---|---|---|---|---|
8 | 6 | 3,02 + 0,474*8 = 6,02 | -0,02 | 0,0004 |
8 | 8 | 6,02 | 1,98 | 3,9204 |
12 | 6 | 3,02 + 0,474*12 = 8,93 | -2,93 | 8,5809 |
12 | 10 | 8,93 | 1,07 | 1,1449 |
16 | 8 | 3,02 + 0,474*16 = 10,63 | -2,63 | 6,9169 |
16 | 14 | 10,63 | 3,37 | 11,3569 |
20 | 12 | 3,02 + 0,474*20 = 12,42 | -0,42 | 0,1764 |
20 | 14 | 12,42 | 1,58 | 2,4964 |
24 | 12 | 3,02 + 0,474*24 = 14,18 | -2,18 | 4,7524 |
24 | 16 | 14,18 | 1,82 | 3,3124 |
Somando $ (Y - \hat{Y})^2 $:
Agora, o Erro Padrão da Regressão (S):
E o Erro Padrão de $ b_1 $ (SE
):
Agora, o t-estatístico:
Com 8 graus de liberdade (n - 2 = 10 - 2), vamos comparar com o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 95. O valor crítico é aproximadamente 2,306.
Como 3,619 > 2,306, rejeitamos a hipótese nula $ H_0 $. Isso significa que há evidências de que a falta de sono está relacionada com o aumento dos erros.
Passo 7
Por fim, vamos interpretar o R², que mostra o quanto da variação em Y (erros) é explicada pelo modelo.
Primeiro, calculamos $ SS_{tot} = \sum (Y - \bar{Y})^2 $:
Calculando $ Y - \bar{Y} $ para cada Y:
Y | Y - 10,6 | (Y - 10,6)² |
---|---|---|
6 | -4,6 | 21,16 |
8 | -2,6 | 6,76 |
6 | -4,6 | 21,16 |
10 | -0,6 | 0,36 |
8 | -2,6 | 6,76 |
14 | 3,4 | 11,56 |
12 | 1,4 | 1,96 |
14 | 3,4 | 11,56 |
12 | 1,4 | 1,96 |
16 | 5,4 | 29,16 |
Somando:
Então,
Isso quer dizer que aproximadamente 61,05% da variação nos erros é explicada pelas horas sem dormir.
Resposta
O modelo de regressão linear simples ajustado é:
Com um coeficiente angular significativo (t ≈ 3,619 > 2,306) e um R² de 61,05%, concluímos que há uma associação positiva entre as horas sem dormir e o número de erros cometidos nas tarefas, indicando que quanto mais tempo sem dormir, maior a quantidade de erros.