Em 100 lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade p de dar cara, observamos 64 caras e 36 coroas.
(b) A partir de um teste de hipóteses baseado no intervalo acima, você aceitaria a hipotese de que a moeda é honesta? Qual é o nível de significância do teste?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente está lidando com Teste de Hipóteses na estatística. O que a gente precisa é verificar se a moeda que estamos usando é realmente honesta, ou seja, se a probabilidade de dar cara ( p) é 0,5, como deveria ser numa moeda justa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
  • Número total de lançamentos: n = 100
  • Número de caras observadas: x = 64
  • Probabilidade observada de dar cara: p = 64100 = 0,64

Passo 3

Agora, vamos estabelecer as hipóteses para o teste:
  • Hipótese Nula ( H0): A moeda é justa, então p = 0,5.
  • Hipótese Alternativa ( H1): A moeda não é justa, então p neq 0,5.

Passo 4

Para testar isso, vamos usar o Teste Z para proporções. A fórmula para calcular o valor de Z é:
Z = p - p0raizp0(1 - p0)n
Onde:
  • p é a proporção observada (0,64)
  • p0 é a proporção esperada sob H0 (0,5)
  • n é o número de lançamentos (100)

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão (standard error):
SE = raiz0,5 times (1 - 0,5)100 = raiz0,25100 = raiz0,0025 = 0,05

Passo 6

Agora, calculamos o valor de Z:
Z = 0,64 - 0,50,05 = 0,140,05 = 2,8

Passo 7

Com o valor de Z em mãos, precisamos encontrar o valor-p correspondente a esse Z. O valor-p nos diz a probabilidade de observarmos um resultado pelo menos tão extremo quanto o que vimos, assumindo que H0 seja verdadeira.
Para um teste bilateral, o valor-p é:
Valor-p = 2 times (1 - Phi(Z))
Onde Phi(Z) é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.
Consultando uma tabela de Z ou usando uma calculadora, encontramos que:
Phi(2,8) approx 0,9974
Então:
Valor-p = 2 times (1 - 0,9974) = 2 times 0,0026 = 0,0052

Passo 8

O nível de significância ( alpha) é o limiar que estabelecemos para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula. Geralmente, usamos valores como 0,05 ou 0,01. Porém, aqui a pergunta quer saber qual o nível de significância do teste com base no que observamos.
Como nosso valor-p é 0,0052, isso significa que estamos testando com um nível de significância de aproximadamente 0,52%.

Passo 9

Finalmente, comparamos o valor-p com nosso nível de significância. Se o valor-p for menor que alpha, rejeitamos H0. Aqui, nosso valor-p é muito pequeno (0,52%), o que geralmente é menor que os níveis de significância convencionais (como 5%).

Resposta

Não, não aceitamos a hipótese de que a moeda é honesta. O nível de significância do teste é aproximadamente 0,52 %.

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