Em 100 lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade
de dar cara, observamos 64 caras e 36 coroas.
(b) A partir de um teste de hipóteses baseado no intervalo acima, você aceitaria a hipotese de que a moeda é honesta? Qual é o nível de significância do teste?
(b) A partir de um teste de hipóteses baseado no intervalo acima, você aceitaria a hipotese de que a moeda é honesta? Qual é o nível de significância do teste?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente está lidando com Teste de Hipóteses na estatística. O que a gente precisa é verificar se a moeda que estamos usando é realmente honesta, ou seja, se a probabilidade de dar cara (
) é 0,5, como deveria ser numa moeda justa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
- Número total de lançamentos:
- Número de caras observadas:
- Probabilidade observada de dar cara:
Passo 3
Agora, vamos estabelecer as hipóteses para o teste:
- Hipótese Nula (
): A moeda é justa, então . - Hipótese Alternativa (
): A moeda não é justa, então .
Passo 4
Para testar isso, vamos usar o Teste Z para proporções. A fórmula para calcular o valor de Z é:
Onde:
-
é a proporção observada (0,64) -
é a proporção esperada sob (0,5) -
é o número de lançamentos (100)
Passo 5
Vamos calcular o erro padrão (standard error):
Passo 6
Agora, calculamos o valor de Z:
Passo 7
Com o valor de Z em mãos, precisamos encontrar o valor-p correspondente a esse Z. O valor-p nos diz a probabilidade de observarmos um resultado pelo menos tão extremo quanto o que vimos, assumindo que
seja verdadeira.
Para um teste bilateral, o valor-p é:
Onde
é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.
Consultando uma tabela de Z ou usando uma calculadora, encontramos que:
Então:
Passo 8
O nível de significância (
) é o limiar que estabelecemos para decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula. Geralmente, usamos valores como 0,05 ou 0,01. Porém, aqui a pergunta quer saber qual o nível de significância do teste com base no que observamos.
Como nosso valor-p é 0,0052, isso significa que estamos testando com um nível de significância de aproximadamente 0,52%.
Passo 9
Finalmente, comparamos o valor-p com nosso nível de significância. Se o valor-p for menor que
, rejeitamos
. Aqui, nosso valor-p é muito pequeno (0,52%), o que geralmente é menor que os níveis de significância convencionais (como 5%).
Resposta
Não, não aceitamos a hipótese de que a moeda é honesta. O nível de significância do teste é aproximadamente 0,52 %.