Em uma pesquisa realizada, constatou-se que a população § de determinada bactéria cresce segundo a função P(t) = 25.2 elevado a t, em que t representa o tempo em horas. Para atingir uma população de 400 bactérias, será necessários um tempo de:
a- 1 hora
b- 2 horas
c- 2 horas e 30 minutos
d- 3 horas
e- 4 horas

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre o crescimento de uma população de bactérias. A fórmula que descreve esse crescimento é $ P(t) = 25.2^t $, onde $ t $ é o tempo em horas. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo levará para essa população atingir 400 bactérias. Vamos usar conceitos de funções exponenciais e logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que temos: $ P(t) = 25.2^t $. Isso significa que a população de bactérias cresce de forma exponencial, ou seja, cresce rápido conforme o tempo passa. Queremos saber para qual valor de $ t $ essa população será igual a 400. Então, vamos montar a equação:
P(t) = 25.2^t

Passo 3

Para resolver essa equação e descobrir o valor de $ t $, vamos usar logaritmos. Logaritmos são ferramentas matemáticas que nos ajudam a resolver equações onde a variável está no expoente. Vamos aplicar o logaritmo natural (ln) nos dois lados da equação:
t

Passo 4

Agora, vamos lembrar de uma propriedade dos logaritmos que diz que $ \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) $. Aplicando isso à nossa equação:
ln(a^b) = b cdot ln(a)

Passo 5

Queremos isolar $ t $ para encontrarmos seu valor. Então, vamos dividir ambos os lados da equação por $ \ln(25.2) $:
t

Passo 6

Agora é hora de calcular os valores numéricos. Usando uma calculadora para encontrar os logaritmos:
ln(400) approx 5.9915
ln(25.2) approx 3.2263
Substituindo na fórmula:
t = 5.99153.2263 approx 1.856 horas

Passo 7

Interpretando o resultado, $ t \approx 1.856 $ horas significa aproximadamente 1 hora e 51 minutos. Agora, vamos ver qual das opções está mais próxima desse valor.

Resposta

A opção b- 2 horas é a mais próxima do tempo necessário para atingir uma população de 400 bactérias.

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