Em uma pesquisa realizada, constatou-se que a população § de determinada bactéria cresce segundo a função P(t) = 25.2 elevado a t, em que t representa o tempo em horas. Para atingir uma população de 400 bactérias, será necessários um tempo de:
a- 1 hora
b- 2 horas
c- 2 horas e 30 minutos
d- 3 horas
e- 4 horas
a- 1 hora
b- 2 horas
c- 2 horas e 30 minutos
d- 3 horas
e- 4 horas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre o crescimento de uma população de bactérias. A fórmula que descreve esse crescimento é $ P(t) = 25.2^t $, onde $ t $ é o tempo em horas. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo levará para essa população atingir 400 bactérias. Vamos usar conceitos de funções exponenciais e logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que temos: $ P(t) = 25.2^t $. Isso significa que a população de bactérias cresce de forma exponencial, ou seja, cresce rápido conforme o tempo passa. Queremos saber para qual valor de $ t $ essa população será igual a 400. Então, vamos montar a equação:
Passo 3
Para resolver essa equação e descobrir o valor de $ t $, vamos usar logaritmos. Logaritmos são ferramentas matemáticas que nos ajudam a resolver equações onde a variável está no expoente. Vamos aplicar o logaritmo natural (ln) nos dois lados da equação:
Passo 4
Agora, vamos lembrar de uma propriedade dos logaritmos que diz que $ \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) $. Aplicando isso à nossa equação:
Passo 5
Queremos isolar $ t $ para encontrarmos seu valor. Então, vamos dividir ambos os lados da equação por $ \ln(25.2) $:
Passo 6
Agora é hora de calcular os valores numéricos. Usando uma calculadora para encontrar os logaritmos:
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Interpretando o resultado, $ t \approx 1.856 $ horas significa aproximadamente 1 hora e 51 minutos. Agora, vamos ver qual das opções está mais próxima desse valor.
Resposta
A opção b- 2 horas é a mais próxima do tempo necessário para atingir uma população de 400 bactérias.