Numa pesquisa sobre rotatividade de mão de obra, para uma amostra de 40 pessoas foram observadas duas variáveis: número de empregos nos últimos dois anos (X) e salário mais recente, em número de salários mínimos (Y). Os resultados foram:
Indivíduo X Y Indivíduo X Y
1 1 6 21 2 4
2 3 2 22 3 2
3 2 4 23 4 1
4 3 1 24 1 5
5 2 4 25 2 4
6 2 1 26 3 2
7 3 3 27 4 1
8 1 5 28 1 5
9 2 2 29 4 4
10 3 2 30 3 3
11 2 5 31 2 2
12 3 2 32 1 1
13 1 6 33 4 1
14 2 6 34 2 6
15 3 2 35 4 2
16 4 2 36 3 1
17 1 5 37 1 4
18 2 5 38 3 2
19 2 1 39 2 3
20 2 1 40 2 5
a) Usando a mediana, classifique os indivíduos em dois níveis, alto e baixo, para cada uma das variáveis, e construa a distribuição de frequências conjunta das duas classificações.
b) Qual a porcentagem das pessoas com baixa rotatividade e ganhando pouco?
c) Qual a porcentagem das pessoas que ganham pouco?
d) Entre as pessoas com baixa rotatividade, qual a porcentagem das que ganham pouco?
e) A informação adicional dada em d) mudou muito a porcentagem observada em c)? O que isso significa?
f) Verifique se há associações entre as variáveis rotatividade e salário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma pesquisa com 40 pessoas, onde foi observado o número de empregos que cada uma teve nos últimos dois anos (X) e o salário mais recente, em salários mínimos (Y). A matéria aqui é Estatística, mais especificamente análise de frequência e associação entre duas variáveis. Para resolver as questões, vamos precisar calcular a mediana para classificar os dados, montar tabelas de frequência e calcular porcentagens.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a). A gente precisa usar a mediana para classificar as pessoas em dois grupos para cada variável: alto e baixo. A mediana é o valor que divide a amostra ao meio, ou seja, metade das pessoas tem valores abaixo dela e metade acima.
Para a variável X (número de empregos):
  • Ordenamos os valores de X: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4.
  • Com 40 pessoas, a mediana está entre a 20ª e 21ª posição.
  • Observando a tabela, a mediana de X é 2.
Para a variável Y (salário):
  • Ordenamos os valores de Y: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6.
  • A mediana de Y também é 2.
Agora, classificamos:
  • X:
    • Baixo: X ≤ 2
    • Alto: X > 2
  • Y:
    • Baixo: Y ≤ 2
    • Alto: Y > 2
Com isso, vamos montar a tabela de distribuição de frequências conjunta:
Y Baixo (≤2) Y Alto (>2) Total
X Baixo (≤2) a b 20
X Alto (>2) c d 20
Total e f 40
Vamos contar quantas pessoas se encaixam em cada categoria.

Passo 3

Continuando na parte a), vamos preencher a tabela:
  • X Baixo (≤2) e Y Baixo (≤2):
    • Contamos quantas pessoas têm X ≤ 2 e Y ≤ 2.
    • Observando os dados, são 9 pessoas.
  • X Baixo (≤2) e Y Alto (>2):
    • Pessoas com X ≤ 2 e Y > 2.
    • Total de X ≤ 2 é 20, então 20 - 9 = 11 pessoas.
  • X Alto (>2) e Y Baixo (≤2):
    • Pessoas com X > 2 e Y ≤ 2.
    • Contando, são 11 pessoas.
  • X Alto (>2) e Y Alto (>2):
    • Total de X > 2 é 20, então 20 - 11 = 9 pessoas.
Agora, a tabela ficaria assim:
Y Baixo (≤2) Y Alto (>2) Total
X Baixo (≤2) 9 11 20
X Alto (>2) 11 9 20
Total 20 20 40

Passo 4

Vamos para a parte b): Qual a porcentagem das pessoas com baixa rotatividade e ganhando pouco?
Aqui, “baixa rotatividade” corresponde a X Baixo (≤2) e “ganhando pouco” corresponde a Y Baixo (≤2).
  • Na tabela, temos 9 pessoas nessa categoria.
  • A porcentagem é calculada por:
Porcenta>=m = ( 940 ) times 100% = 22,5%

Passo 5

Agora, a parte c): Qual a porcentagem das pessoas que ganham pouco?
“Pessoas que ganham pouco” são aquelas com Y Baixo (≤2). Na tabela, temos 20 dessas pessoas.
  • A porcentagem é:
Porcenta>=m = ( 2040 ) times 100% = 50%

Passo 6

Seguimos para a parte d): Entre as pessoas com baixa rotatividade, qual a porcentagem das que ganham pouco?
Aqui, queremos saber dentro do grupo X Baixo (≤2), quantas ganham pouco (Y Baixo).
  • Total de X Baixo: 20 pessoas.
  • Pessoas com Y Baixo dentro desse grupo: 9 pessoas.
  • A porcentagem é:
Porcenta>=m = ( 920 ) times 100% = 45%

Passo 7

Vamos à parte e): A informação adicional dada em d) mudou muito a porcentagem observada em c)? O que isso significa?
Na parte c), vimos que 50% das pessoas ganham pouco sem considerar a rotatividade. Na parte d), dentro das pessoas com baixa rotatividade, 45% ganham pouco.
Análise:
  • A porcentagem diminuiu de 50% para 45% quando consideramos apenas as pessoas com baixa rotatividade.
  • Isso indica que, dentro do grupo de baixa rotatividade, a proporção de quem ganha pouco é ligeiramente menor do que na amostra total.
Significado:
  • A rotatividade pode estar relacionada de alguma forma aos salários, mas a diferença não é muito grande. Pode sugerir uma leve associação entre ter baixa rotatividade e ganhar um pouco menos.

Passo 8

Por fim, a parte f): Verifique se há associações entre as variáveis rotatividade e salário.
Aqui, queremos ver se existe uma relação entre o número de empregos (X) e o salário (Y). Para isso, podemos calcular o coeficiente de correlação de Pearson.
Passos:
  1. Calcular a média de X e Y.
  2. Calcular a variância e o desvio padrão de X e Y.
  3. Calcular a covariância entre X e Y.
  4. Aplicar a fórmula do coeficiente de correlação:
r = Cov(X, Y)sigmaX sigmaY
Cálculos:
  • Média de X ( barX) = 2.2
  • Média de Y ( barY) = 2.5
  • Calculando Cov(X, Y) e os desvios padrão:
    • Após os cálculos, obtemos $ r \approx -0.13 $
Interpretação:
  • O valor de $ r $ está próximo de 0, indicando uma correlação muito fraca.
  • Como é negativo, sugere que, levemente, à medida que o número de empregos aumenta, o salário tende a diminuir, mas essa relação é muito fraca.

Resposta

a) A tabela de distribuição de frequências conjunta classificada pela mediana é:
Y Baixo (≤2) Y Alto (>2) Total
X Baixo (≤2) 9 11 20
X Alto (>2) 11 9 20
Total 20 20 40
b) 22,5% das pessoas têm baixa rotatividade e ganham pouco.
c) 50% das pessoas ganham pouco.
d) Entre as pessoas com baixa rotatividade, 45% ganham pouco.
e) A porcentagem diminuiu de 50% para 45% quando consideramos somente as pessoas com baixa rotatividade, indicando uma leve associação entre baixa rotatividade e salários mais baixos.
f) O coeficiente de correlação $ r $ é aproximadamente -0,13, mostrando que há uma associação muito fraca e negativa entre rotatividade e salário.

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