Um pesquisador desenvolveu um teste para detectar um certo tipo de câncer. Ele usa o teste em pacientes com câncer e pacientes sem câncer e obtém uma taxa de falsos positivos de 5 % (isto é, resultados positivos para pacientes sem câncer). Qual é a probabilidade de que em um grupo de 15 pessoas
no máximo 3 tenham resultado positivo sem ter câncer?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um teste de câncer que tem uma taxa de falsos positivos de 5%. Isso significa que, em pessoas sem câncer, 5% acabam dando positivo no teste mesmo sem a doença. A pergunta é: qual a probabilidade de, em um grupo de 15 pessoas, no máximo 3 tenham resultado positivo sem ter câncer?
Vamos usar a Distribuição Binomial para resolver isso. Precisamos saber:
  • Número de tentativas (n): 15 pessoas
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 0,05 (5%)

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou falha), e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.
Aqui, cada pessoa testada é uma tentativa. Sucesso é ter um falso positivo (resultado positivo sem ter câncer).

Passo 3

Queremos a probabilidade de no máximo 3 pessoas terem falso positivo, ou seja, P(X ≤ 3). Isso significa calcular a soma das probabilidades de exatamente 0, 1, 2 e 3 falsos positivos.
A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial
  • p é a probabilidade de sucesso
  • k é o número de sucessos

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente:
Para k=0:
P(X=0) = binom150 (0,05)^0 (0,95)^15 = 1 times 1 times 0,95^15 approx 0,463
Para k=1:
P(X=1) = binom151 (0,05)^1 (0,95)^14 = 15 times 0,05 times 0,95^14 approx 0,366
Para k=2:
P(X=2) = binom152 (0,05)^2 (0,95)^13 = 105 times 0,0025 times 0,95^13 approx 0,153
Para k=3:
P(X=3) = binom153 (0,05)^3 (0,95)^12 = 455 times 0,000125 times 0,95^12 approx 0,025

Passo 5

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter P(X ≤ 3):
P(X <= 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
P(X <= 3) approx 0,463 + 0,366 + 0,153 + 0,025
P(X <= 3) approx 1,007
Como a soma das probabilidades não pode exceder 1, provavelmente arredondamos algumas casas decimais:
P(X <= 3) approx 1,00

Resposta

A probabilidade de que, em um grupo de 15 pessoas, no máximo 3 tenham resultado positivo sem ter câncer é aproximadamente 100 %.

Exercícios relacionados