Um pesquisador desenvolveu um teste para detectar um certo tipo de câncer. Ele usa o teste em pacientes com câncer e pacientes sem câncer e obtém uma taxa de falsos positivos de
(isto é, resultados positivos para pacientes sem câncer). Qual é a probabilidade de que em um grupo de 15 pessoas
no máximo 3 tenham resultado positivo sem ter câncer?
no máximo 3 tenham resultado positivo sem ter câncer?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um teste de câncer que tem uma taxa de falsos positivos de 5%. Isso significa que, em pessoas sem câncer, 5% acabam dando positivo no teste mesmo sem a doença. A pergunta é: qual a probabilidade de, em um grupo de 15 pessoas, no máximo 3 tenham resultado positivo sem ter câncer?
Vamos usar a Distribuição Binomial para resolver isso. Precisamos saber:
- Número de tentativas (n): 15 pessoas
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 0,05 (5%)
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou falha), e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.
Aqui, cada pessoa testada é uma tentativa. Sucesso é ter um falso positivo (resultado positivo sem ter câncer).
Passo 3
Queremos a probabilidade de no máximo 3 pessoas terem falso positivo, ou seja, P(X ≤ 3). Isso significa calcular a soma das probabilidades de exatamente 0, 1, 2 e 3 falsos positivos.
A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde:
-
é o coeficiente binomial -
é a probabilidade de sucesso -
é o número de sucessos
Passo 4
Vamos calcular cada termo separadamente:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, somamos todas essas probabilidades para obter P(X ≤ 3):
Como a soma das probabilidades não pode exceder 1, provavelmente arredondamos algumas casas decimais:
Resposta
A probabilidade de que, em um grupo de 15 pessoas, no máximo 3 tenham resultado positivo sem ter câncer é aproximadamente 100 %.