Suponha que
para
. Determine as seguintes probabilidades:
(a)
(b) P
©
(d)
(e)
(f) Determine x tal que
.
(g) Determine x tal que
.
(a)
(b) P
©
(d)
(e)
(f) Determine x tal que
(g) Determine x tal que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A função de densidade que temos é $ f(x) = e^{-x} $ para $ x > 0 $. Isso significa que estamos lidando com uma distribuição exponencial, que é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo onde os eventos ocorrem continuamente e de forma independente. Para resolver as probabilidades solicitadas nas partes (a) até (g), vamos precisar entender como calcular a função de distribuição acumulada (FDA) dessa distribuição e como utilizá-la para encontrar as probabilidades desejadas.
Passo 2
Parte (a): $ \mathrm{P}(1 < \mathrm{X}) $
Aqui queremos encontrar a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja maior que 1. Para uma distribuição contínua, isso é equivalente a $ \mathrm{P}(X > 1) = 1 - \mathrm{P}(X \leq 1) $.
A função de distribuição acumulada (FDA) para a distribuição exponencial é:
Então,
Passo 3
Parte (b): $ \mathrm{P}(1 < \mathrm{X} < 2,5) $
Queremos a probabilidade de $ X $ estar entre 1 e 2,5. Isso pode ser encontrado subtraindo a FDA em 1 da FDA em 2,5:
Passo 4
Parte ©: $ \mathrm{P}(X = 3) $
Para variáveis contínuas, a probabilidade de $ X $ assumir exatamente um valor específico é sempre zero. Isso porque há infinitos pontos possíveis no intervalo contínuo.
Passo 5
Parte (d): $ \mathrm{P}(X < 4) $
Aqui queremos a probabilidade de $ X $ ser menor que 4, que é simplesmente a FDA em 4:
Passo 6
Parte (e): $ \mathrm{P}(3 \leq \mathrm{X}) $
Queremos a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a 3. Para isso, calculamos $ 1 - F(3) $:
Passo 7
Parte (f): Determine $ x $ tal que $ \mathrm{P}(x < \mathrm{X}) = 0,10 $
Estamos procurando um valor de $ x $ onde a probabilidade de $ X $ ser maior que $ x $ é 0,10. Então:
Usando a FDA:
Calculando:
Passo 8
Parte (g): Determine $ x $ tal que $ \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq \mathrm{x}) = 0,10 $
Aqui estamos procurando um valor de $ x $ onde a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ x $ é 0,10. Isso diretamente usa a FDA:
Calculando:
Resposta
(a) $ \mathrm{P}(1 < \mathrm{X}) = e^{-1} \approx 0,368 $
(b) $ \mathrm{P}(1 < \mathrm{X} < 2,5) = e^{-1} - e^{-2,5} \approx 0,368 - 0,082 \approx 0,286 $
© $ \mathrm{P}(X = 3) = 0 $
(d) $ \mathrm{P}(X < 4) = 1 - e^{-4} \approx 0,982 $
(e) $ \mathrm{P}(3 \leq \mathrm{X}) = e^{-3} \approx 0,050 $
(f) $ x \approx 2,303 $ tal que $ \mathrm{P}(x < \mathrm{X}) = 0,10 $
(g) $ x \approx 0,105 $ tal que $ \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq \mathrm{x}) = 0,10 $