Suponha que f(x)=e^-x para 0. Determine as seguintes probabilidades:
(a) P(1
(b) P (1
© P(X=3)
(d) P(X<4)
(e) P(3 <= X)
(f) Determine x tal que P(x.
(g) Determine x tal que P(X <= x)=0,10.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A função de densidade que temos é $ f(x) = e^{-x} $ para $ x > 0 $. Isso significa que estamos lidando com uma distribuição exponencial, que é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo onde os eventos ocorrem continuamente e de forma independente. Para resolver as probabilidades solicitadas nas partes (a) até (g), vamos precisar entender como calcular a função de distribuição acumulada (FDA) dessa distribuição e como utilizá-la para encontrar as probabilidades desejadas.

Passo 2

Parte (a): $ \mathrm{P}(1 < \mathrm{X}) $
Aqui queremos encontrar a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja maior que 1. Para uma distribuição contínua, isso é equivalente a $ \mathrm{P}(X > 1) = 1 - \mathrm{P}(X \leq 1) $.
A função de distribuição acumulada (FDA) para a distribuição exponencial é:
P(1 < X)
Então,
X

Passo 3

Parte (b): $ \mathrm{P}(1 < \mathrm{X} < 2,5) $
Queremos a probabilidade de $ X $ estar entre 1 e 2,5. Isso pode ser encontrado subtraindo a FDA em 1 da FDA em 2,5:
P(1 < X < 2,5)

Passo 4

Parte ©: $ \mathrm{P}(X = 3) $
Para variáveis contínuas, a probabilidade de $ X $ assumir exatamente um valor específico é sempre zero. Isso porque há infinitos pontos possíveis no intervalo contínuo.
P(X = 3)

Passo 5

Parte (d): $ \mathrm{P}(X < 4) $
Aqui queremos a probabilidade de $ X $ ser menor que 4, que é simplesmente a FDA em 4:
P(X < 4)

Passo 6

Parte (e): $ \mathrm{P}(3 \leq \mathrm{X}) $
Queremos a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a 3. Para isso, calculamos $ 1 - F(3) $:
P(3 <= X)

Passo 7

Parte (f): Determine $ x $ tal que $ \mathrm{P}(x < \mathrm{X}) = 0,10 $
Estamos procurando um valor de $ x $ onde a probabilidade de $ X $ ser maior que $ x $ é 0,10. Então:
x
Usando a FDA:
P(x < X) = 0,10
Calculando:
x

Passo 8

Parte (g): Determine $ x $ tal que $ \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq \mathrm{x}) = 0,10 $
Aqui estamos procurando um valor de $ x $ onde a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ x $ é 0,10. Isso diretamente usa a FDA:
x
Calculando:
P(X <= x) = 0,10

Resposta

(a) $ \mathrm{P}(1 < \mathrm{X}) = e^{-1} \approx 0,368 $
(b) $ \mathrm{P}(1 < \mathrm{X} < 2,5) = e^{-1} - e^{-2,5} \approx 0,368 - 0,082 \approx 0,286 $
© $ \mathrm{P}(X = 3) = 0 $
(d) $ \mathrm{P}(X < 4) = 1 - e^{-4} \approx 0,982 $
(e) $ \mathrm{P}(3 \leq \mathrm{X}) = e^{-3} \approx 0,050 $
(f) $ x \approx 2,303 $ tal que $ \mathrm{P}(x < \mathrm{X}) = 0,10 $
(g) $ x \approx 0,105 $ tal que $ \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq \mathrm{x}) = 0,10 $

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