O número médio de pessoas atendidas num banco é de 6 pessoas por hora. Qual é a probabilidade de que num dia ( 6 horas de atendimento) sejam atendidas
48 pessoas?
48 pessoas?
Passo 1
Beleza, então a gente tem um banco que costuma atender, em média, 6 pessoas por hora. O exercício quer saber qual a chance de, num dia inteiro de atendimento de 6 horas, serem atendidas exatamente 48 pessoas. A gente vai precisar usar um pouco de estatística, mais especificamente a distribuição de Poisson, que é ótima pra contar eventos que acontecem de forma aleatória ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é o número médio de pessoas que o banco atende em 6 horas. Se é 6 pessoas por hora, em 6 horas, a média será:
Passo 3
Agora, para calcular a probabilidade de exatamente 48 pessoas serem atendidas, vamos usar a distribuição de Poisson. A fórmula dela é:
Onde:
- $ \lambda $ é a média (36 pessoas)
- $ k $ é o número de ocorrências que queremos (48 pessoas)
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828)
Passo 4
Mas calcular diretamente essa fórmula com $ k = 48 $ pode ser complicado por causa do fatorial grande. Então, vamos usar uma aproximação normal, que é mais fácil de trabalhar quando a média é grande. A distribuição de Poisson se aproxima de uma distribuição normal quando $ \lambda $ é grande.
Passo 5
Para a distribuição normal, a média é $ \mu = \lambda = 36 $ e o desvio padrão é $ \sigma = \sqrt{\lambda} = \sqrt{36} = 6 $.
Agora, queremos achar a probabilidade de $ X = 48 $. Como estamos usando a aproximação normal, calculamos a probabilidade de $ X $ estar entre 47,5 e 48,5 para melhorar a precisão:
Passo 6
Calcular o valor z para cada limite:
Passo 7
Usando a tabela da distribuição normal, encontramos as probabilidades correspondentes:
Então, a probabilidade de $ X $ estar entre 47,5 e 48,5 é:
Resposta
A probabilidade de que sejam atendidas exatamente 48 pessoas num dia de 6 horas é de aproximadamente 0,86%.