O número médio de pessoas atendidas num banco é de 6 pessoas por hora. Qual é a probabilidade de que num dia ( 6 horas de atendimento) sejam atendidas
48 pessoas?

Passo 1

Beleza, então a gente tem um banco que costuma atender, em média, 6 pessoas por hora. O exercício quer saber qual a chance de, num dia inteiro de atendimento de 6 horas, serem atendidas exatamente 48 pessoas. A gente vai precisar usar um pouco de estatística, mais especificamente a distribuição de Poisson, que é ótima pra contar eventos que acontecem de forma aleatória ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é o número médio de pessoas que o banco atende em 6 horas. Se é 6 pessoas por hora, em 6 horas, a média será:
lambda = 6 , pessoas/hora times 6 , horas = 36 , pessoas

Passo 3

Agora, para calcular a probabilidade de exatamente 48 pessoas serem atendidas, vamos usar a distribuição de Poisson. A fórmula dela é:
P(X = k) = lambda^k , e^-lambdak!
Onde:
  • $ \lambda $ é a média (36 pessoas)
  • $ k $ é o número de ocorrências que queremos (48 pessoas)
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828)

Passo 4

Mas calcular diretamente essa fórmula com $ k = 48 $ pode ser complicado por causa do fatorial grande. Então, vamos usar uma aproximação normal, que é mais fácil de trabalhar quando a média é grande. A distribuição de Poisson se aproxima de uma distribuição normal quando $ \lambda $ é grande.

Passo 5

Para a distribuição normal, a média é $ \mu = \lambda = 36 $ e o desvio padrão é $ \sigma = \sqrt{\lambda} = \sqrt{36} = 6 $.
Agora, queremos achar a probabilidade de $ X = 48 $. Como estamos usando a aproximação normal, calculamos a probabilidade de $ X $ estar entre 47,5 e 48,5 para melhorar a precisão:
mu = lambda = 36

Passo 6

Calcular o valor z para cada limite:
z1 = 47,5 - 366 = 11,56 approx 1,9167
z2 = 48,5 - 366 = 12,56 approx 2,0833

Passo 7

Usando a tabela da distribuição normal, encontramos as probabilidades correspondentes:
P(Z < 2,0833) approx 0,9812
P(Z < 1,9167) approx 0,9726
Então, a probabilidade de $ X $ estar entre 47,5 e 48,5 é:
X

Resposta

A probabilidade de que sejam atendidas exatamente 48 pessoas num dia de 6 horas é de aproximadamente 0,86%.

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