Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçōes. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades ^2.
Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 , obtendo-se os seguintes valores:
llllllllll 7,9 & 6,8 & 5,4 & 7,5 & 7,9 & 6,4 & 8,0 & 6,3 & 4,4 & 5,9
d) Suponha que no item (b) nāo fosse conhecido o desvio-padrāo. Como você procederia para determinar o intervalo de confiança para a média populacional, e que suposiçōes você faria para isso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um pesquisador que está estudando a resistência de um material que segue uma distribuição normal. Ele sabe que a variância é 4 unidades², mas agora, no item (d), ele não sabe o desvio-padrão. A gente precisa descobrir como calcular um intervalo de confiança para a média populacional dessa resistência quando a variância não é conhecida. Para isso, vamos usar algumas ferramentas de estatística como a média amostral, o desvio-padrão e a distribuição t de Student.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Então:
barx = 7,9 + 6,8 + 5,4 + 7,5 + 7,9 + 6,4 + 8,0 + 6,3 + 4,4 + 5,910
Calculando isso:
barx = 68,510 = 6,85

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio-padrão da amostra. Primeiro, precisamos encontrar a variância amostral, que é a soma dos quadrados das diferenças de cada valor em relação à média, dividida por (n-1).
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
  • (7,9 - 6,85)^2 = 1,05^2 = 1,1025
  • (6,8 - 6,85)^2 = (-0,05)^2 = 0,0025
  • (5,4 - 6,85)^2 = (-1,45)^2 = 2,1025
  • (7,5 - 6,85)^2 = 0,65^2 = 0,4225
  • (7,9 - 6,85)^2 = 1,05^2 = 1,1025
  • (6,4 - 6,85)^2 = (-0,45)^2 = 0,2025
  • (8,0 - 6,85)^2 = 1,15^2 = 1,3225
  • (6,3 - 6,85)^2 = (-0,55)^2 = 0,3025
  • (4,4 - 6,85)^2 = (-2,45)^2 = 6,0025
  • (5,9 - 6,85)^2 = (-0,95)^2 = 0,9025
Somando todos esses valores:
sum (xi - barx)^2 = 1,1025 + 0,0025 + 2,1025 + 0,4225 + 1,1025 + 0,2025 + 1,3225 + 0,3025 + 6,0025 + 0,9025 = 13,285
Então, a variância amostral é:
s^2 = 13,28510 - 1 = 13,2859 approx 1,476
E o desvio-padrão amostral é:
s = raiz1,476 approx 1,215

Passo 4

Como a variância não é conhecida e estamos trabalhando com uma amostra pequena (n=10), a gente vai usar a distribuição t de Student para construir o intervalo de confiança. A fórmula do intervalo de confiança é:
barx pm talpha/2, , n-1 times sraizn
Aqui:
  • barx é a média amostral.
  • talpha/2, , n-1 é o valor crítico da distribuição t para um certo nível de confiança e graus de liberdade (n-1).
  • s é o desvio-padrão amostral.
  • n é o tamanho da amostra.
Vamos supor que queremos um intervalo de confiança de 95%. Com n-1 = 9 graus de liberdade, consultamos a tabela t de Student e encontramos que t0,025, , 9 approx 2,262.

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula:
6,85 pm 2,262 times 1,215raiz10
Primeiro, calculamos sraizn:
1,215raiz10 approx 1,2153,162 approx 0,384
Então, multiplicamos pelo valor t:
2,262 times 0,384 approx 0,869

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 95% para a média populacional é:
6,85 pm 0,869
Ou seja, de aproximadamente 5,98 a 7,72 unidades.

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