Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condiçōes. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades
.
Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 , obtendo-se os seguintes valores:
d) Suponha que no item (b) nāo fosse conhecido o desvio-padrāo. Como você procederia para determinar o intervalo de confiança para a média populacional, e que suposiçōes você faria para isso?
Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 , obtendo-se os seguintes valores:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um pesquisador que está estudando a resistência de um material que segue uma distribuição normal. Ele sabe que a variância é 4 unidades², mas agora, no item (d), ele não sabe o desvio-padrão. A gente precisa descobrir como calcular um intervalo de confiança para a média populacional dessa resistência quando a variância não é conhecida. Para isso, vamos usar algumas ferramentas de estatística como a média amostral, o desvio-padrão e a distribuição t de Student.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Então:
Calculando isso:
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio-padrão da amostra. Primeiro, precisamos encontrar a variância amostral, que é a soma dos quadrados das diferenças de cada valor em relação à média, dividida por (n-1).
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
Somando todos esses valores:
Então, a variância amostral é:
E o desvio-padrão amostral é:
Passo 4
Como a variância não é conhecida e estamos trabalhando com uma amostra pequena (n=10), a gente vai usar a distribuição t de Student para construir o intervalo de confiança. A fórmula do intervalo de confiança é:
Aqui:
-
é a média amostral. -
é o valor crítico da distribuição t para um certo nível de confiança e graus de liberdade (n-1). -
é o desvio-padrão amostral. -
é o tamanho da amostra.
Vamos supor que queremos um intervalo de confiança de 95%. Com n-1 = 9 graus de liberdade, consultamos a tabela t de Student e encontramos que
.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos
:
Então, multiplicamos pelo valor t:
Resposta
Portanto, o intervalo de confiança de 95% para a média populacional é:
Ou seja, de aproximadamente 5,98 a 7,72 unidades.
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