Um pesquisador interessado em testar o efeito de um medicamento em reduzir o suor aplicou o produto em um dos braços, escolhido ao acasso, em uma amostra de nove indivíduos. O outro braço serviu de controle. O suor durante uma atividade física foi mensurado em ml nos dois braços. O pesquisador estava interessado em saber se existe correlação entre as medidas de suor do braço não tratado (X) e do braço tratado (Y). Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson entre X e Y. As mensurações são apresentadas a seguir:
Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X 6,625 5,508 4,279 2,104 1,117 1,308 5,881 7,796 2,688
Y 0,113 0,142 0,067 0,083 0,055 0,121 0,207 0,076 0,101

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um pesquisador que quer saber se o medicamento aplicado no braço consegue reduzir o suor. Ele mediu a quantidade de suor nos dois braços de 9 pessoas: um braço foi tratado com o medicamento (Y) e o outro não foi tratado (X). O objetivo é descobrir se há uma relação entre as quantidades de suor nos dois braços, ou seja, se os valores de X e Y estão correlacionados. Para isso, vamos calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados:
Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X 6,625 5,508 4,279 2,104 1,117 1,308 5,881 7,796 2,688
Y 0,113 0,142 0,067 0,083 0,055 0,121 0,207 0,076 0,101
Vamos precisar calcular alguns valores:
  1. Soma dos valores de X ( sum X)
  2. Soma dos valores de Y ( sum Y)
  3. Soma dos produtos X·Y ( sum XY)
  4. Soma dos quadrados de X ( sum X^2)
  5. Soma dos quadrados de Y ( sum Y^2)

Passo 3

Vamos calcular cada um desses valores passo a passo.
  1. sum X:
6,625 + 5,508 + 4,279 + 2,104 + 1,117 + 1,308 + 5,881 + 7,796 + 2,688 = 32,306
  1. sum Y:
0,113 + 0,142 + 0,067 + 0,083 + 0,055 + 0,121 + 0,207 + 0,076 + 0,101 = 0,969
  1. sum XY:
(6,625 times 0,113) + (5,508 times 0,142) + (4,279 times 0,067) + (2,104 times 0,083) + (1,117 times 0,055) + (1,308 times 0,121) + (5,881 times 0,207) + (7,796 times 0,076) + (2,688 times 0,101) = 1,040 + 0,781 + 0,287 + 0,175 + 0,061 + 0,158 + 1,220 + 0,593 + 0,272 = 4,507
  1. sum X^2:
6,625^2 + 5,508^2 + 4,279^2 + 2,104^2 + 1,117^2 + 1,308^2 + 5,881^2 + 7,796^2 + 2,688^2 = 43,890 + 30,354 + 18,313 + 4,426 + 1,248 + 1,723 + 34,575 + 60,779 + 7,226 = 202,154
  1. sum Y^2:
0,113^2 + 0,142^2 + 0,067^2 + 0,083^2 + 0,055^2 + 0,121^2 + 0,207^2 + 0,076^2 + 0,101^2 = 0,0128 + 0,0202 + 0,0045 + 0,0069 + 0,0030 + 0,0146 + 0,0429 + 0,0058 + 0,0102 = 0,1205

Passo 4

Com esses valores, vamos usar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson:
r = n sum XY - (sum X)(sum Y)raiz[n sum X^2 - (sum X)^2][n sum Y^2 - (sum Y)^2]
Onde:
  • n é o número de indivíduos, que é 9.
Vamos substituir os valores:
r = 9 times 4,507 - (32,306 times 0,969)raiz[9 times 202,154 - (32,306)^2][9 times 0,1205 - (0,969)^2]
Calculando o numerador:
9 times 4,507 = 40,563
32,306 times 0,969 = 31,315
40,563 - 31,315 = 9,248
Calculando o denominador:
9 times 202,154 = 1.819,386
(32,306)^2 = 1.041,930
1.819,386 - 1.041,930 = 777,456
9 times 0,1205 = 1,0845
(0,969)^2 = 0,939
1,0845 - 0,939 = 0,1455
Agora, a raiz quadrada do denominador:
raiz777,456 times 0,1455 = raiz112,937 approx 10,628
Finalmente, o coeficiente de correlação:
r = 9,24810,628 approx 0,871

Resposta

O coeficiente de correlação linear de Pearson entre e é aproximadamente 0,871.

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