Um pesquisador quer estimar a quantidade média de horas que estudantes passam estudando por semana. Uma amostra de 16 estudantes revela uma média de 20 horas, com desvio padrão amostral de 5 horas. Qual é o intervalo de confiança de 99%?

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um pesquisador que quer saber em média quantas horas os estudantes passam estudando por semana. Ele pegou uma amostra de 16 estudantes, e descobriu que, em média, eles estudam 20 horas por semana, com um desvio padrão de 5 horas. Nosso objetivo aqui é calcular o intervalo de confiança de 99% para essa média. Isso significa que queremos ter 99% de certeza de que o verdadeiro valor médio de horas estudadas está dentro desse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados a intervalos de confiança e distribuição t de Student.

Passo 2

Primeiro, como temos uma amostra pequena (n = 16) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos utilizar a distribuição t de Student para calcular nosso intervalo de confiança. A distribuição t é apropriada nesses casos porque ela leva em conta a variabilidade adicional que vem de ter uma amostra pequena.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um intervalo de confiança de 99% com 15 graus de liberdade (df = n - 1 = 16 - 1 = 15). Esse valor é aquele que corresponde a uma área central de 99% na distribuição t. Consultando uma tabela de t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico t para 99% de confiança e 15 graus de liberdade é aproximadamente 2,947.

Passo 4

Em seguida, calculamos o erro padrão da média. O erro padrão é dado pela fórmula:
SE = sraizn
onde SE = 5raiz16 = 54 = 1,25 é o desvio padrão amostral e é o tamanho da amostra. Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos calcular a margem de erro, que é o produto do valor crítico t pelo erro padrão:
Mar>=m de Erro = t times SE = 2,947 times 1,25 approx 3,684

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média amostral:
Intervalo de Confiança = barx pm Mar>=m de Erro = 20 pm 3,684 ç
Isso nos dá:
Intervalo de Confiança = (16,316 ; 23,684) ç

Resposta

O intervalo de confiança de 99% para a quantidade média de horas que os estudantes passam estudando por semana é de aproximadamente 16,32 horas a 23,68 horas.

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