Pesquise um exercício sobre Gravitação no qual seja possível calcular a interação gravitacional entre uma partícula e um objeto considerado como uma distribuição contínua de massa. Após a pesquisa, resolva o problema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de gravitação! A gente quer calcular a interação gravitacional entre uma partícula e um objeto que tem uma distribuição contínua de massa. No caso, vamos supor que temos uma partícula de massa localizada a uma distância do centro de um objeto esférico de massa total e raio , com distribuição de massa uniforme. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e entender como a massa se distribui no objeto esférico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que diz que a força gravitacional entre duas massas e separadas por uma distância é dada por:
onde é a constante gravitacional ().
Passo 3
No nosso caso, temos uma massa pontual e um objeto esférico de massa . A coisa interessante aqui é que, para calcular a força gravitacional exercida pela esfera sobre a partícula, podemos simplificar o problema usando o Teorema de Shell de Gauss.
Passo 4
O Teorema de Shell de Gauss nos diz que uma esfera com massa uniformemente distribuída age, do lado de fora dela, como se toda a sua massa estivesse concentrada no centro. Ou seja, se a partícula está a uma distância do centro da esfera e (fora da esfera), podemos usar a fórmula da Lei da Gravitação como se toda a massa estivesse no centro.
Passo 5
Então, aplicando a Lei da Gravitação Universal para :
Isso nos dá a força gravitacional entre a partícula e a esfera.
Passo 6
Agora, se a partícula estivesse dentro da esfera (), a situação muda. Nesse caso, apenas a massa dentro de um raio contribui para a força gravitacional, e a massa fora desse raio não exerce força sobre a partícula. A massa interna pode ser calculada com base na densidade da esfera.
Passo 7
A densidade da esfera é:
A massa interna dentro de um raio é:
Passo 8
Então, a força gravitacional para é:
Isso mostra que dentro da esfera, a força aumenta linearmente com a distância .
Resposta
A força gravitacional entre a partícula de massa e o objeto esférico de massa e raio é dada por: