Pesquise um exercício sobre Gravitação no qual seja possível calcular a interação gravitacional entre uma partícula e um objeto considerado como uma distribuição contínua de massa. Após a pesquisa, resolva o problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de gravitação! A gente quer calcular a interação gravitacional entre uma partícula e um objeto que tem uma distribuição contínua de massa. No caso, vamos supor que temos uma partícula de massa localizada a uma distância do centro de um objeto esférico de massa total e raio , com distribuição de massa uniforme. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e entender como a massa se distribui no objeto esférico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que diz que a força gravitacional entre duas massas e separadas por uma distância é dada por:
onde é a constante gravitacional ( ).

Passo 3

No nosso caso, temos uma massa pontual e um objeto esférico de massa . A coisa interessante aqui é que, para calcular a força gravitacional exercida pela esfera sobre a partícula, podemos simplificar o problema usando o Teorema de Shell de Gauss.

Passo 4

O Teorema de Shell de Gauss nos diz que uma esfera com massa uniformemente distribuída age, do lado de fora dela, como se toda a sua massa estivesse concentrada no centro. Ou seja, se a partícula está a uma distância do centro da esfera e (fora da esfera), podemos usar a fórmula da Lei da Gravitação como se toda a massa estivesse no centro.

Passo 5

Então, aplicando a Lei da Gravitação Universal para :
Isso nos dá a força gravitacional entre a partícula e a esfera.

Passo 6

Agora, se a partícula estivesse dentro da esfera ( ), a situação muda. Nesse caso, apenas a massa dentro de um raio contribui para a força gravitacional, e a massa fora desse raio não exerce força sobre a partícula. A massa interna pode ser calculada com base na densidade da esfera.

Passo 7

A densidade da esfera é:
A massa interna dentro de um raio é:

Passo 8

Então, a força gravitacional para é:
Isso mostra que dentro da esfera, a força aumenta linearmente com a distância .

Resposta

A força gravitacional entre a partícula de massa e o objeto esférico de massa e raio é dada por:

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