Pesquise um exercício sobre Gravitação no qual seja possível calcular a interação gravitacional entre uma partícula e um objeto considerado como uma distribuição contínua de massa. Após a pesquisa, resolva o problema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de gravitação! A gente quer calcular a interação gravitacional entre uma partícula e um objeto que tem uma distribuição contínua de massa. No caso, vamos supor que temos uma partícula de massa
localizada a uma distância
do centro de um objeto esférico de massa total
e raio
, com distribuição de massa uniforme. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e entender como a massa se distribui no objeto esférico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que diz que a força gravitacional
entre duas massas
e
separadas por uma distância
é dada por:
onde
é a constante gravitacional (
).
Passo 3
No nosso caso, temos uma massa pontual
e um objeto esférico de massa
. A coisa interessante aqui é que, para calcular a força gravitacional exercida pela esfera sobre a partícula, podemos simplificar o problema usando o Teorema de Shell de Gauss.
Passo 4
O Teorema de Shell de Gauss nos diz que uma esfera com massa uniformemente distribuída age, do lado de fora dela, como se toda a sua massa estivesse concentrada no centro. Ou seja, se a partícula está a uma distância
do centro da esfera e
(fora da esfera), podemos usar a fórmula da Lei da Gravitação como se toda a massa
estivesse no centro.
Passo 5
Então, aplicando a Lei da Gravitação Universal para
:
Isso nos dá a força gravitacional entre a partícula e a esfera.
Passo 6
Agora, se a partícula estivesse dentro da esfera (
), a situação muda. Nesse caso, apenas a massa dentro de um raio
contribui para a força gravitacional, e a massa fora desse raio não exerce força sobre a partícula. A massa interna
pode ser calculada com base na densidade da esfera.
Passo 7
A densidade
da esfera é:
A massa interna dentro de um raio
é:
Passo 8
Então, a força gravitacional para
é:
Isso mostra que dentro da esfera, a força aumenta linearmente com a distância
.
Resposta
A força gravitacional
entre a partícula de massa
e o objeto esférico de massa
e raio
é dada por: