A partir da lei da gravitação de Newton, mostre que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é de . Qual seria o valor de a uma altitude de acima do nível do mar? Despreze a rotação da Terra e considere-a como um referencial inercial com massa uniformemente distribuída. Dados: G (massa da Terra) e (raio da Terra) km .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Precisamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton para encontrar a aceleração da gravidade ( ) na superfície da Terra e também a essa mesma aceleração a uma certa altitude acima do nível do mar. Para isso, vamos precisar das seguintes informações:
  • Constante gravitacional, ²²
  • Massa da Terra,
  • Raio da Terra,
  • Altitude,
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Massa da Terra:
  • Raio da Terra:

Passo 3

A Lei da Gravitação Universal de Newton nos diz que a força gravitacional ( ) entre dois corpos é dada por:
Onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa da Terra,
  • é a massa do objeto,
  • é a distância entre os centros dos dois corpos.
Como queremos a aceleração da gravidade ( ), que é a força por unidade de massa, podemos simplificar a fórmula para:

Passo 4

Primeiro, vamos calcular na superfície da Terra, onde .
Substituindo os valores:
²²

Passo 5

Vamos calcular o denominador primeiro:
²
Agora, substituindo de volta na equação:
²

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração da gravidade a uma altitude de acima do nível do mar. A distância total do centro da Terra será:
Então, usamos a mesma fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 7

Calculando o denominador:
²
Substituindo de volta:
²

Resposta

A aceleração da gravidade na superfície da Terra é de aproximadamente ² e a uma altitude de acima do nível do mar é de aproximadamente ².

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