A partir da lei da gravitação de Newton, mostre que a aceleração da gravidade
na superfície da Terra é de
. Qual seria o valor de
a uma altitude de
acima do nível do mar? Despreze a rotação da Terra e considere-a como um referencial inercial com massa uniformemente distribuída. Dados: G
(massa da Terra)
e
(raio da Terra)
km .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Precisamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton para encontrar a aceleração da gravidade (
) na superfície da Terra e também a essa mesma aceleração a uma certa altitude acima do nível do mar. Para isso, vamos precisar das seguintes informações:
- Constante gravitacional,
- Massa da Terra,
- Raio da Terra,
- Altitude,
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
- Massa da Terra:
- Raio da Terra:
Passo 3
A Lei da Gravitação Universal de Newton nos diz que a força gravitacional (
) entre dois corpos é dada por:
Onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra, -
é a massa do objeto, -
é a distância entre os centros dos dois corpos.
Como queremos a aceleração da gravidade (
), que é a força por unidade de massa, podemos simplificar a fórmula para:
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
na superfície da Terra, onde
.
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, substituindo de volta na equação:
Passo 6
Agora, vamos calcular a aceleração da gravidade a uma altitude de
acima do nível do mar. A distância total do centro da Terra será:
Então, usamos a mesma fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 7
Calculando o denominador:
Substituindo de volta:
Resposta
A aceleração da gravidade na superfície da Terra é de aproximadamente
e a uma altitude de
acima do nível do mar é de aproximadamente
.
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