A partir da lei da gravitação de Newton, mostre que a aceleração da gravidade (ag) na superfície da Terra é de 9,83 m / s^2. Qual seria o valor de ag a uma altitude de 3,57 times 10^7 m acima do nível do mar? Despreze a rotação da Terra e considere-a como um referencial inercial com massa uniformemente distribuída. Dados: G =6,67 times 10^-11 Nm^2 kg^-2, MT (massa da Terra) =5,98 times 10^27 g e RT (raio da Terra) =6,37 times 10^3 km .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Precisamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton para encontrar a aceleração da gravidade ( ag) na superfície da Terra e também a essa mesma aceleração a uma certa altitude acima do nível do mar. Para isso, vamos precisar das seguintes informações:
  • Constante gravitacional, G = 6,67 times 10^-11 , Nm²/kg²²²
  • Massa da Terra, MT = 5,98 times 10^27 , g
  • Raio da Terra, RT = 6,37 times 10^3 , km
  • Altitude, h = 3,57 times 10^7 , m
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Massa da Terra: MT = 5,98 times 10^27 , g = 5,98 times 10^24 , kg
  • Raio da Terra: RT = 6,37 times 10^3 , km = 6,37 times 10^6 , m

Passo 3

A Lei da Gravitação Universal de Newton nos diz que a força gravitacional ( F) entre dois corpos é dada por:
F = G MT cdot mR^2
Onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • MT é a massa da Terra,
  • m é a massa do objeto,
  • R é a distância entre os centros dos dois corpos.
Como queremos a aceleração da gravidade ( ag), que é a força por unidade de massa, podemos simplificar a fórmula para:
ag = Fm = G MTR^2

Passo 4

Primeiro, vamos calcular ag na superfície da Terra, onde R = RT = 6,37 times 10^6 , m.
ag = G MTRT^2
Substituindo os valores:
ag = 6,67 times 10^-11 , Nm²/kg² times 5,98 times 10^24 , kg(6,37 times 10^6 , m)^2 ²²

Passo 5

Vamos calcular o denominador primeiro:
(6,37 times 10^6 , m)^2 = 4,06 times 10^13 , m² ²
Agora, substituindo de volta na equação:
ag = 6,67 times 10^-11 times 5,98 times 10^244,06 times 10^13
ag = 6,67 times 10^-11 times 1,47 times 10^11
ag approx 9,83 , m/s² ²

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração da gravidade a uma altitude de h = 3,57 times 10^7 , m acima do nível do mar. A distância total do centro da Terra será:
R = RT + h = 6,37 times 10^6 , m + 3,57 times 10^7 , m = 4,20 times 10^7 , m
Então, usamos a mesma fórmula:
ag = G MTR^2
Substituindo os valores:
ag = 6,67 times 10^-11 times 5,98 times 10^24(4,20 times 10^7)^2

Passo 7

Calculando o denominador:
(4,20 times 10^7 , m)^2 = 1,76 times 10^15 , m² ²
Substituindo de volta:
ag = 6,67 times 10^-11 times 5,98 times 10^241,76 times 10^15
ag = 6,67 times 10^-11 times 3,40 times 10^9
ag approx 2,27 , m/s² ²

Resposta

A aceleração da gravidade na superfície da Terra é de aproximadamente 9,83 , m/s²² e a uma altitude de 3,57 times 10^7 , m acima do nível do mar é de aproximadamente 2,27 , m/s²².

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