Uma pessoa aplicou R$ 90.000 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000. Qual foi a taxa anual?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de juros aqui. Uma pessoa investiu R$90.000 no mercado financeiro e, depois de 5 anos, recebeu R$180.000. Nosso objetivo é descobrir qual foi a taxa de juros anual que fez esse investimento crescer.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Principal §: R$90.000 (o valor inicial investido)
  • Montante final (M): R$180.000 (o valor após 5 anos)
  • Tempo (n): 5 anos
  • Taxa de juros anual (i): é o que queremos descobrir

Passo 3

Vamos usar a fórmula do Juro Composto, que é bem comum para esse tipo de cálculo. A fórmula é:
M = P times (1 + i)^n
Onde:
  • $ M $ é o montante final
  • $ P $ é o principal
  • $ i $ é a taxa de juros por período
  • $ n $ é o número de períodos

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:
180.000 = 90.000 times (1 + i)^5

Passo 5

Para encontrar $ i $, primeiro vamos dividir ambos os lados da equação por 90.000:
i
180.00090.000 = (1 + i)^5

Passo 6

Agora, para isolar $ i $, vamos tirar a raiz quinta de ambos os lados da equação. Isso significa elevar ambos os lados a $ \frac{1}{5} $:
i

Passo 7

Calculando $ 2^{\frac{1}{5}} $, temos aproximadamente 1,1487. Então:
2^15

Passo 8

Finalmente, subtraímos 1 de ambos os lados para encontrar $ i $:
i
i = 1,1487 - 1

Resposta

A taxa de juros anual foi de aproximadamente 14,87%.

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